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24, u. f. 
Die Thetafunctionen. 
1 10] = 9, (=) 8,0 — d, (2) d, (©, 
2. à [5e + D), $e] : 3p) — 0s (2) Va (6) — Da (3) 93 (©), 
3 9s[$(z -- O, 1o]- &,[ $e] — 9; (2) 8, (0 + 85(2) 9,(9, 
9,156 + D, 4o] - 9$ [1(e — 9, 50] — 94,00 84(0 + 9, (2 9, (0. 
Die Substitution lx — z und ir — € für z und : liefert hieraus 
5. m eim. 
83-2, 10]. $[i(z— 0, 
SS 
enum 
6. 9s [35 -- D, $e] 9,65 — 2, de] = 9,6) 50 — 8 (9) 9, (0) 
7. ^ EG +0, $e]: 9,36 — 2, do] = 8,() 80) + 9(s) 9,0, 
8. BEE +0, do] - ^ —2, 4e — 9) 9( -- 9.0 DD). 
Ferner erhált man leicht durch Addition und Subtraction aus den Gleichungen 5. 
und 8. 4. und l1. indem man nachher 2, fund p durch z + €, z — € und 20 
ersetzt 
9. 29 (2 + €, 2p) - dz —¢, 2p) = 8 (z) 03 (©) + 9302) ID), 
10. 28, (5 +L, 20) 9, (2 — 1, 20) = 9(2) 9,0) — 3,0) 90), 
H. 2%,( +1, 2) -9,(s — t, 20) = 9,0) 8,0) — 8 (3) BQ), 
I2.— 28,60, 29-9, — 6, 20) = (9 (0 -- 9(2 (2. 
Durch Specialisirung leiten wir hieraus einige brauchbare Formeln ab. Setzen 
wir in 9. { = 0, so entsteht 
13. 8(2) 95 (z) — 8(0, 29) 8(2z, 20), 
Aus 6. erhalten wenn $ — 0, 2z für z, 2p für p gesetzt wird, 
14. à, (2) 3 2 (7) = 9(0, 29) 8, (22, 29). 
Setzen wir in 6. ad 8. {= 2, so folet 
15. 9 (2) = = 50, (0, be) 9, (5, $9), 
16. 9, (2) 9, (5) = 392 (0, 4) 9 (2, 40), 
von denen wir 15. bereits in No. 4. abgeleitet und benutzt haben. Aus den 
Gleichungen 5. und 8. folgt durch Multiplication 
BEG +0, $e] - 9[5(5 — 2, 31-95 [36 + 0), $9 9. (56 — D, bo] 
— 9)? $(0? — 9, (2? 9, (9)? 
Ersetzt man in 13. z durch 4(& + Ç) und dann durch j(z — 2), sowie 0 
durch $p und führt die Resultate in die soeben gewonnene Gleicl hung ein, so 
erhält man 
9(s 4- 0-8 — 0 
i NEN A e 
In 6. und 7. setzen wir z 4- £ und z — £ für z und CE, und erhalten 
I. — 8,6199,619 — 9.6 096 —2 -- 96 -- 09,6 — 0, 
I. — $e p*k ipo 0896 —0 — BE +006 —10). 
Aus 15. und 16. pas Wir 
19, (0, 4e)? - 9, (5, 4 9, (6 46) = 9( 9,6) 8,0) 940 - 
Da nun aus 16. folgt, wenn man z durch 0 ersetzt 
39,(0, 49)? — 8,(0) 9,(0), 
so geht 18. über in 
20. 238(29,(0)98,05 9. (0) = 9. (0) 94 (0) (9, (3 + 09(2—0 2-9 (z 4- €) 84 (s — o. 
In gleicher Weise ergiebt sich aus 19. 
21.282 (2) 8, (5) 9) 8, = 8, (0) 9, (0) [B16 +) Be — 9 — 9( + 99,6 — 9. 
Wir erhalten aus 20. zunächst 
8(0? e(0) 40) (s 4- ) 9e — 9) [f(z + 2) + f(s — 0] 
- 28(2)2-9(0? .7(2)e(0 (9. 
Bezeichnen wir die rechte Seite von 17. durch 27, so folgt 
22. e(0) 4(0) - Z- L/(s -- + f(z — ©] = = f(2) £0) (0).