id indem wir 
mplituden- 
h in ähnlicher 
3 — {, so er 
z — |), 
3 — D). 
-D8G— OL 
^ 
+0) 8 — 0) 
§ 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 783 
Benutzen wir dies und No. 7, 13., so erhalten wir, wenn wir schliesslich 26, 
22, 2t mit p, Z H- C, 3 — { vertauschen, 
29(2) 8,(2) 9(0 9, (0 = 9$(0) 9,00 [8 -- 0 9,0 — 0 4 9, (2 - 09 — 0) - 
Auf gleiche Weise gelangen wir von No. 7, 10. und 12. zu 
28, (2) 8,5) 9, (0 8,0 — 9(0 9, (0 (s -- 0996 — 0 — 9,6 -- 096 — 9). 
Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir in Rücksicht auf No. 7, 17 
&(0) TLe(s — 5 4 e( 2 9] — 86) 8(9, 
&(0) Z'|g(s — 2 — eG o 9] — 6) AG) 25) - 
Hieraus folgt schliesslich das Additionstheorem für die Function cos amaw in 
der Form 
eG) e(O x f) 4G) /(0 AQ) 
] —J/GM fy 
£(0) ge + 9) = 
  
§ 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 
s 
1. Eine Function e(z) sei eindeutig und stetig für alle Punkte im Innern 
einer Curve c mit Ausschluss der Punkte 2,, 45, . . . 24, in welcher g unend- 
lich. sei. 
Wir schliessen die Punkte a,, . . a; durch verschwindend kleine Kreise 
aus; alsdann bilden c und diese Kreise zusammen die vollständige Begrenzung 
einer Fläche, innerhalb deren © eindeutig und endlich ist. Daher ist für jeden 
Punkt z im Innern dieser Fläche 
1 Uri (3) = f di - [3€ d... - f£ dt, 
© (a) (en) 
fidos. 
(€) (@,) (ak) 
Integrale über c, bez. über die Kreise um @,, @,, .. a; angedeutet sind, alle in 
positivem Sinne rücksichtlich der von ihnen umschlossenen Flächen. 
Es sei /(z) eine Function, die für alle Punkte innerhalb einer Curve c ein- 
deutig und endlich und von Null verschieden ist, mit Ausnahme der Punkte 
wobei durch 
q4, 455/09 «5 d, 
in denen sie Null, und der Punkte 
01» Boo Pa... Bo, 
in denen sie unendlich gross sei. Alsdann wird /f'(z):/(z) — 4/f(z):4z unend- 
lich gross in den Punkten « und f; ersetzt man daher in 1. e(z) durch 7" (2) : /(z), 
so hat man 
  
  
  
  
k Z 
mou. di wd S feo ase > LA À 
J() JU. dz JO tz JU Is 
(c) * (an) * (85) 
Bekanntlich ist (8 13, 13) 
JU) dt 1 P AO, 1 J' 
I URGE cecmie co 
(a) (a) (b (a) 
1 FC x 
— (z im. FK) (£ E a)? dl . 
(a) 
Wir wollen nun die Voraussetzung machen, dass (z — «j):/(z) für z = a 
endlich und von Null verschieden sei; da 
  
     
   
    
  
  
  
    
    
    
     
    
   
    
     
   
   
    
    
    
  
    
      
     
  
  
  
  
  
  
   
| 
pr 
ER 
ny 
| 
| | 
BERE 
| | 
I 
fib 
MERERI 
Iul 
iE 
HE 
In 
Ea 
He 
s 
ur 
t 
Hn 
Hd 
LER 
TAS 
HM 
HT 
PE 
FEN 
VET 
PET 
"d 
HI 
El 
Enn 
i i