8 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 785 
JG 2 j &'(/) 
7. — ps4; — — [?—Z(—8 Zu = 0, ze. 
poe nero 7 
(8) (8) 
Aus 2. bis 7. folgt schliesslich 
2.0 = V dt 1 ] 1 
- MM = reer == recent remet == m ar i —— 
fe)  2«i HD Pa 3 — oy Z— 9, d Te 0% 
(c) 
due co v. 
7 =f of ex Br 
Durch Integration folgt hieraus 
(s — «4. ( — a 
= [Udz + IC A e E 
a - J (s— 8)6 — Ba) -- —B)' 
oder 
  
  
8. Jen om EUR e m = 
  
wobei zur Abkürzung 
gesetzt worden ist. 
Wenn nun die Anzahl der Punkte « und Q unendlich gross ist und keine 
endliche Curve alle diese Punkte einschliesst, so kann man die Curve c nach 
einem bestimmten, willkürlich gewählten Gesetze unendlich erweitern; von diesem 
Gesetze wird dann im Allgemeinen der Grenzwerth abhángen, gegen den das 
Integral [Uds convergirt; gleichzeitig hingt von diesem Gesetze auch die An- 
ordnung ab, nach welcher neue Faktorengruppen in den Zähler und Nenner des 
Produktes 8. eintreten. Wir erkennen so die Möglichkeit, dass je nach der Wahl 
dieses Gesetzes verschiedene Entwicklungen derselben Function in Form eines 
unendlichen Produktes erhalten werden können, indem dabei die Art und Weise, 
nach welcher die Anzahl der Faktoren des Nenners zugleich mit denen des 
Zählers unendlich wächst, verschieden ist. 
Die Constante C kann aus Formel 8. eliminirt werden mit Hülfe des Werthes, 
den die Function /(z) für irgend einen bestimmten Werth der Variabeln z — £9 
annimmt. Man erhält 
(5 —2,) 60 —23.-(9—9) (6 —B)6 — a) @ —h) © 
2. Wir wenden diese Entwicklung zunächst auf die ee J(z) — sinz an. 
Der Sinus von z wird nur für ein unendlich grosses imaginäres z unendlich, 
und verschwindet für 
9. Az)= £(2,) (2 —9«u)(6 —55). 0 jer UE) (£o o7 06$ — DE T 1 
2 = Ma, 
wobei m alle realen ganzen Zahlen zu durchlaufen hat. 
Wir wählen zur Curve c ein Rechteck, dessen Länge der realen Achse 
parallel ist, und das symmetrisch zu den Achsen liegt; die beiden zur realen 
Achse normalen Seiten legen wir durch Punkte, in denen szzz nicht verschwindet. 
Die Seiten des Rechtecks nehmen wir unendlich fern an. 
Für das Integral U haben wir 
pet U Ja df : 
Smt t—.z 
(c) 
ScHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 
  
       
  
    
     
     
     
    
    
       
      
      
         
     
   
    
      
      
     
        
       
    
         
  
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