grals zu ent- 
Entwicklung 
ıdlich fernen 
echtecks hat 
esetzt gleiche 
'en Elemente 
ben, mit der 
lürfen. Vor- 
zu beachten, 
von z; und z 
te 1m Zähler 
eben hervor- 
s Quotienten 
ı Zähler und 
m Quotienten 
3. Wir setzen 
das Produkt 
Verth hat, so 
—w- 
§ 20. Entwicklung der elliptischen Reihen in unendliche Produkte. 789 
Nach der gleichmässig für reale und complexe Bogen gültigen Gleichung 
             
  
sina sin = + [cos (a — B) — cos (a — B)] 
ist Sim (NT t— 23) = i(eos2n« — cos 2z). 
Benutzt man 
cos9 auc — 4 C zi e-2inr) ; 
sinnt-sin(— nt) = 4(1— im) e-2im, 
und setzt £^ — 4, so erhált man 
oo 
9K 1—24»cos2z ne gi 
I. Ol) zu AS 
: (1— 27 
2K 1 — 242 cos2z + g*)(1 — 29* cos92 4- q8)(1 — 299 cos2z -- 917) 
un Y. 7 7 7 q 4 7 
m 232 4 7612 
ï 1-10 77 
Da tz — xK:X, so ist 
EAT 
g — € K 
ein realer echter Bruch, folglich der Nenner 
UA 
convergent. 
Das unendliche Produkt im Zähler ist von der Form 
(124-2,) (1 27 25) (1 4-23) - - «5 
dasselbe convergirt bekanntlich, wenn die Reihe 
$4 7k $3 dz S4 ct 
convergirt, und diese convergirt mit der Reihe 
mod z, + modz, + Mod 33 + 
Es kommt daher in unserm Falle auf die Reihe der Moduln an 
mod (q^»— 24?»cos 92) — q?" mod (g^ — 2cos 22). 
Der Quotient zweier benachbarten Glieder der Reihe dieser Moduln ist 
q?n*?2 — 2 cos 2z 
gr — 9 cos 22° 
  
q?. mod — 
Wächst % unbegrenzt, so nähert sich diese Zahl dem Grenzwerthe g?; da 
nun g? — 1, so folgt, dass die Reihe der Moduln und mithin auch das unend- 
liche Produkt im Zähler convergirt. 
Hiermit ist bewiesen, dass 0,(z) für jedes endliche z convergirt. 
In dem unendlichen Produkte 0(z) nehmen wir ebenfalls alle Faktoren zu- 
sammen, die zu einem gegebenen z gehóren; das Produkt derselben ist 
Hz 
| Z T Sin [2 + 3) v—1] 
LL MT + - (a +17 | = sin (n+h)< 
sin [Ge + 4) t — 7] 
p Lite en = ^ 
Daher 1st 
       
   
—n—1 
Das Produkt zweier RSE Faktoren ist 
sin m +4 )T— az] sin ib Hz — T 
    
sin S 4 4) « sn (— : 
Dieselben goniometrischen Formeln, die 
wandt worden sind, liefern jetzt 
] — 24?7*1co52z 
T 7 E grt 1)?