792 Integralrechnung. 
endlich für jedes endliche z; hieraus folgt, dass sich @(z) in eine FOURIER'sche 
Reihe entwickeln lásst, die für jedes endliche z gilt, und die Form hat 
0 (z) = Y, . en 2s 
Entwicklung einer Function nach steigenden und fallenden 
Potenzen der Variabeln nur in einer Weise möglich ist, kann auch die damit 
engstens zusammenhängende Entwicklung in einer FOURIER'schen Reihe nur in 
Ebenso, wie die 
einer Weise existiren. Wenn daher zwei Entwicklungen derselben Function 
vorliegen 
Jay me XA, en 2iz = > Byen 2, 
x / 
so folgt 
/ RP 
: An == Dr 
für jeden Werth von z. 
Mit Hülfe dieser Bemerkung und der Functionalgleichung No. 5, 9 sind wir 
im Stande, die Coefficienten A, zu bestimmen, bis auf einen constanten allen 
gemeinsamen Faktor. Ersetzen wir in der Gleichung 
O(z) = ZA et 205 
die Variable z durch z + rt, so entsteht 
9 (z zie t) = S, end . ques 
aus No. 5, 9 folgt ferner 
(iz +1) = Z(— 4, ) + 6-7. eln—1) 2, 
Vergleichen wir in diesen beiden Entwicklungen die Coefficienten e»‘2, so folgt 
Es 
A, en t2 = — Are ZT, 
oder Aye Tem A WS 
dies ergiebt 
Ape t um (— 124, 
Wobei 44 eine noch zu bestimmende Constante bezeichnet. 
Wir haben somit den Satz: Jede eindeutige Function, die die reale 
Periode x hat, der Functionalgleichung genügt 
fle +1) = — HD), 
und für jedes endliche z endlich ist, giebt die FourieR'sche Entwicklung 
J o 5 
--oo 
4 c yer Beirne 
oo 
wo alles bis auf À vôllig bestimmt ist; jede solche Function ist daher von 
0 (z) nur durch einen constanten Faktor verschieden. 
4. Setzen wir — it = p, also *-— 7p, und vertauschen wir z mit -— 2, 
so erhalten wir sofort die Beziehung 
]: 0 == 4.896). 
diese Gleichung lehrt, die füundamentale Thetafunction (3) In ein unend- 
liches Produkt zu verwandeln; die Verwandlung ist bis auf einen Zahlen- 
faktor A geleistet, der noch bestimmt werden muss. Setzen wir Z0, so 
entsteht 
Da nun 0(0) — 1, so folgt 
9(0) 
Nach No. 5, 5 ist 
€ —7(z + i zp) 
B up iio mtn 2); 
86-1 = G17, % ©) 
da nun bekanntlich 
   
      
   
     
     
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
    
    
  
   
   
    
   
   
  
   
    
     
   
    
     
    
  
   
  
  
  
   
  
  
   
  
  
   
so folg 
3. 
Se 
zz, 
4. 
Da 
5. 
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(1.— 2 
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6. 
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8. 
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9. 
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10. 
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