68 Analytische Geometrie. 
reichen; zu diesem Zwecke haben wir die Coordinatenwerthe aus 1. in 2. ein- 
zusetzen und die sich ergebende Gleichung für 7 aufzulösen. Wir erhalten 
(x, + 7cosa)? + (y, + rsina)? — 2a (x, + rcosa) — 26 (9, + rsina) +c=—0 
oder nach fallenden Potenzen der Unbekannten 7 geordnet: 
3. £2 -- 9 [(x4 — 2) cosa -- (94, — 5) sina]r + x +y$ — 2ax, — 26), He = 0. 
Bezeichnet man die Wurzeln mit 7', 7", so folgt aus 3. das Produkt der 
Wurzeln zu 
4. ry’ =x2+y2—2ax, —20y, +c. 
Dieser Werth ist unabhängig von der Richtung der Geraden 7, er hängt 
nur von den Constanten des Kreises und von den Coordinaten des Punktes /, 
ab. Wir haben daher den (aus der Planimetrie bekannten) Satz: Wird ein 
Strahlenbüschel von einem Kreise geschnitten, so ist das Produkt 
der Strecken, die auf jedem Strahle vom Büscheltráger bis an den 
Kreis reichen, von constanter Grósse. Dieses constante Produkt wird 
bekanntlich die Potenz des Punktes AP, in Bezug auf den Kreis genannt; 
die rechte Seite der Gleichung 4. lehrt: Die Potenz eines Punktes 2; in 
Bezug auf den Kreis K=a? +p? —2ax —25y Ec — 0 ist der Werth, 
den die Function Kex? -- y? —2ax — 25y -- c annimmt, wenn man in 
dieselbe die Coordinaten s Yı des Punktes 7, einsetzt. 
Ist 7'r" positiv, so haben 7' und 7" gleiches Zeichen, SSR sich also 
auf derselben Seite von A; ist 7'7" negativ, so haben 7' und 7" verschiedene 
Zeichen und erstrecken sich daher zu beiden Seiten von 7,. Der Werth K dt 
also positiv für alle Punkte P, ausserhalb und negativ für alle Punkte innerhalb 
des Kreises K — 0. 
5. Die Punkte, welche der Kreis 
]. K=x? +y?1—2ax—26y+c= 0 
mit der Geraden 
2. T= mx +ny +) = 
gemein hat, besitzen Ghortinaten, welche die d UH 1. und 2. befriedigen; 
dieselben sind also die Wurzeln dieser Gleichungen. Multiplicirt man 1. mit x? 
und dann mit 2 und setzt die aus 2. genommenen Werthe 
ie = — (mx + p), 
row —= — (iy +) 
in die multiplicirten Gleichungen ein, so erhält man für x und y die Gleichungen: 
3. (m? + n2) x2 + 2 (mp — an? ~+ bum) x + p? eng 4- 136 zm 0, 
4. (m? + n?) y? + 2 (np — bm? + anm) y + p? + Qamp+ m?c = 0. 
Die Auflösungen dieser beiden quadratischen Gleichungen sind, wie man 
durch Substitution von a? + 6? — p? für c und nach leichter Umformung gewinnt: 
  
  
  
— mp + an? — bnm 7 . o (ma nà 4- py? 
X == — 5 9 == en o^ — A rd ro 
; m2 + n° V m? + n° m*+n 
5. s : 
— np + bm? — anm _ m à (ma + nb + 42)? 
Y= "Tm? x a? Tymi- ipii m? + n? : 
Der Subtrahend des Radicanden, námlich 
(ma + nd + p)? 
ist das Quadrat des Abstandes des Punktes a, 5, d. i. des Kreiscentrums, von 
der Geraden Z. Wir haben daher: Eine Gerade T det einen Kreis 
in zwei Punkten, oder berührt ihn in einem Punkte, oder verfehlt 
     
       
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
    
     
   
    
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
   
   
   
    
  
  
   
  
  
  
  
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