§ 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 797
Dies bedingt wieder, dass in ¢3, ¢9, 413, ¢'7 nach A!* sofort A?! kommt,
es Ist daher
(as FE 43 77 03407 0;
mithin ist 7 von der Form
9. g = ah + ON CM A MMS NT A FL
Anstatt dies in 1. einzuführen, ist es zweckmässiger, für A aus 1. den Werth
€ in 2. einzusetzen. Man bildet zu diesem Zwecke
AS = g5 — 104? -- 65413 — 330417 -- 14207?! — ...,
iptischen i a +1 1.98 — 18913 + 149517 —. sO0g73 + i
rerbindet pi = 4 IE Mel 6593 —.. .,
MT = + git — Bgl
34 = + gi ;
und erhält die Gleichungen
az], —2+6=0, 5 — 106 + ¢ = 0,
-: 10 -- 650 — 18¢ + d= 0, 18 — 3305 + 189¢ — 26d + ¢ = 0,
— 32 + 14205 — 800¢ + 65d — 34¢ + f = 0.
Diese Gleichungen ergeben
b= 9, c= 15, d= 150, € = 17107, Ff = 57470, n
also ist |
'echnung | 3. g = A+ 245 + 15)9 + 150)15 + 1707A17 + 5747022! —-
| Für eine Genauigkeit bis zur fünften Decimalstelle genügen die ersten beiden
rechnen. ) Glieder dieser Gleichung, sobald |
X 1539 « 0,000001, also à < 0,2. |
Hieraus ergiebt sich
y^ 2 RE 0,983.
Die ersten drei Glieder genügen bei einer Genauigkeit bis zur sechsten
Stelle, wenn
n rechts i dr |
150A13 << 106 also à < 0,28, |
, so be- YZ > R =< 0,993,
& van N und bei einer Genauigkeit bis zur fünften Stelle, wenn
PER k < 0,9995.
Aus g findet man X (wenn man nicht vorzieht, X aus 4 nach den früher Ha
mitgetheilten Methoden direkt zu berechnen) aus der ausserordentlich rasch con- D |
vergirenden Entwicklung No. 9, 9 |
innt mit 9 KR
¢ yi = 1 — 24 -- 24* — 24? + 2416 — 2425 + |
Da g selbst für grosse £ stark von 1 abweicht, so genügen in den meisten | i |
Fällen die ersten drei Glieder. Schliesslich findet man szmamzw, cosamuw, Mamav i :
aus den ebenfalls sehr rasch convergirenden Thetaquotienten 8 19, No. 5, 15, 16 | |
und 17.
Man kann diese Gleichungen auch dazu verwenden, ww zu finden, wenn
sin am w, cos am oder A am gegeben sind, also dazu, ein elliptisches Integral
erster Art aus dem Modul und der Amplitude zu berechnen. Wir bedienen uns
dazu am zweckmiüssigsten der Gleichung
| also ist
