$ 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 
w 
E(w) = w Li sin? ama dae . 
0 
In dem Integrale dritter Art setzen wir 
à) — — £? sin?ama 
und machen wieder die Substitution 1.; dadurch entsteht 
  
Li de dw 
| (1 + \sin2p)Ap — J 1 — £? sin? ama sin? amu 
Wird das letztere Integral zwischen den Grenzen 0 und z» genommen, so 
erhält man sofort 
  
w . p 
jn kann; dw vid &? sin?ama sin?amav dap 
l—4?sz?amaesim?amo ~ J 1 — £? sin?ama sin?amaw 
  
  
0 0 
Wir werden nun zeigen, wie die beiden Integrale, um die es sich noch 
rste An- us 2.1 T 
handelt, nàmlich 
w ZU 
» » 7.9 "d 92 2 
js €? sin? an w dw 
k? sin? am w dw und Fy rg 
: 1 — A? sin? am a. sin? am w | 
— à mit 0 0 | 
laus 6 auf Thetafunctionen reducirt werden kónnen. 
er immer 2. Vorher haben wir noch zu untersuchen, ob diese beiden Integrale vom 
aus 6 zu Integrationswege abhängen. 
1er noch Die Function sz amv wird unendlich in den Punkten zv —2 » K 4- (21 4- 1) K' - i, 
n beiden í wobei z; und z ganze Zahlen sind; wir haben daher nach 8 13, 13, 3 
ie. Reihe | sin? am [2m K + 2n + 1)K' +i + w 
- nähern. für die Umgebung des Punktes 2m: Æ + (27 + 1)Æ" - ; in eine Reihe nach auf- 
und absteigenden Potenzen von w zu entwickeln und den Coefficienten von 1 : w 
zu beachten. Da nun bekanntlich 
1 
—— %2 sin? amw dd 
und diese Function für entgegengesetzt gleiche w gleiche Zeichen hat, so folgt, Hi 
dass in der verlangten Entwicklung nur gerade Potenzen von w vorkommen; D 
folglich ist der Coefficient von w—1 gleich Null. Hieraus ergiebt sich sofort: 
Das Integral /sin? amw dw über eine kleine Curve erstreckt, die 
man eine einen Ausnahmepunkt einfach umkreist, verschwindet; das Integral 
ist daher eine eindeutige Function der Punkte der Variabelnebene. 
Die Function 
sin? am 2m K 4- 2n + 1)K'i + w] 
  
sin? amw 
  
1 — A? szn? ama sin? ama 
wird nur in den Punkten unendlich eross, für welche 
e ) 
| ; 1 — %2 sin? ama sin? amw = 0, 
; 1 Hi 
| also sin amy = +x +. n 
| æsin ama Un 
d w ge- | Hieraus folgen für zw die Auflösungen Dh 
Ug e ni I | 
daher | T) — zk a -4- 2; K + (Qn 4- 1) &7. 
  
| Setzen wir nun 
w = zb a-r2mkK 4 (22 4- 1)K'i -- wv, 
so erhalten wir 
sin? am w 1 1 
  
  
1 — A&?sin?am asin?amzw A? sin? am (0 Æ 4) — sin2ama’ d