vernach- 
nach a; 
Grenzen 
$ 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 8o1 
Der Periodicititsmodul des links stehenden Integrals ist nz; ihn besonders 
hinzuzufügen ist wegen des rechts stehenden Logarithmus nicht nöthig. Das 
links stehende Integral bezeichnet JAcosı als Normalinte egral dritter Art 
IH (zv, X, a), wofür auch Il zv, «) geschrieben wird, wenn über den Modulus 7 kein 
Zweifel sein kann. 
Wenn wir in 2. rechts und links durch « dividiren und dann zur Grenze 
für x = 0 übergehen, so erhalten wir 
w 
  
  
  
TW 
: D U t PE 
n 22 922 F. 72 aUe me 
3. 02 5242 am t0 d'a — +55 ul 4.9 — —————; 
t 4K? $0) * 9 720 ) 
A 9K 
0 
denn es ist, wenn wa: 2K — ß gesetzt wird, 
Q TA zT 
Dad 9x = S 9 
a 
Dal : 
SA ; T D, 98 m? 08 m? 
ln ——— emu m um uum um uus. 
: = gx in 8 x in 3 igi! (0) 
Es ist daher 
zu 
Tw 
Da 
S £2. "(OQ RU OA 
4. Cw) = | A? amwdw — — ow | 2U ——————— 
e a= XS NIU em 
0 ox 
Das zweite Glied rechts bezeichnet man nach Jacosr mit Z(w), so dass also 
T 
Dat = 
2 2K 
Z(w) = - 
: qc 
2K 
4. Wir entwickeln nun einige Eigenschaften der Function Z. Wenn man 
die angedeutete Differentiation ausführt, so erhält man zunächst 
  
  
I 2 qe Imp 2 9x DEW 
29st — — 4q*siu —— 4- 69?sim —— —... 
Z K K K 
AC 
) 1. 9 TW is 2rwW 959 3m w 
== 60S 45 PIE LOS > 29 COS 45 
BEE ES DO 
Hieraus folgt 
Z(— w) = -— Z(w), Z0)=0, ZmK)= 0, Zw+2K) = Zw), 
Da ferner bekanntlich 
aA LM nw 
w + 97K") = — ex x IL 
Zn ( Les 9K’ 
so folgt, indem man beiderseits die Logarithmen nimmt und differenzirt, 
Z( rt 7 . TC 
Z(w +2:K") = Z(w) — i E 
Ersetzt man hier z» durch — ze, so erhált: man 
Z(w — 2:K') = Z(w) + : T 
$. Geht z auf der zweiblütterigen RigMANN'schen Flüche für ya 1 BS — — E252) 
geradlinig von 0 bis 1, so durchláu& ze die reale Achse von 0 bis X, geht z im 
untern Blatte geradlinig zurück bis 0, so geht zw auf der realen Achse weiter bis 
2A. Für diesen Weg ist unzweideutig 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 51