Integralrechnung. 
z zw 
1— 453 : 
J ET dz = [A amw dw = Gm) . 
0 
Das links stehende LEGENDRE’sche Integral zweiter Art erlangt auf dem an- 
gegebenen Wege den Werth 2Z. - 
Da nun Z(2K) = 0 ist, so folgt 
25 = [1 
  
x? "(y 
SE: uu ENIM E 
1K° '$(0) |x: 
folglich ist 
zs oS EZ 
1X° 50 7% 
  
und daher 
EA 
- E 2 
1. E(w) = gU Zw), 
Rückt z auf der realen Achse von O bis vor 1, umgeht den Punkt 1 in 
negativer Drehrichtung in einem verschwindend kleinen Halbkreise, geht dann 
(auf demselben Rande der realen Achse wie von 0 bis 1) geradlinig weiter bis 
vor 1:4, umkreist diesen Punkt in negativer -Drehrichtung und kehrt hierauf 
(jenseits der von 1 bis 1:4 liegenden Verwachsung) geradlinig bis zu 1 zurück, 
so durchlàuft zv geradlinig die reale Achse von 0 bis A, und dann eine Nor- 
  
male zur realen bis zum Punkte Æ — 2:Æ'. Es ist daher für diese Wege 
1 
1 SET EE ape E 
24/1 — #22? = {1/1— #22" E zr EM s 
/ A da + 2 du RT — X (K — 9: K ) c7 K' 
0 ; 
> HR Ti tS 1 
(K—2:K") (K) +75 x 
Das zweite Integral links ist bekanntlich (S8 16, No. 19) 
iL — K'). 
Daher folgt 
| | E. E 
Bt YUE — KT) = (EUR) + IR. 
Dies reducirt sich auf die von LEGENDRE auf anderm Wege gefundene 
Beziehung zwischen den vollständigen elliptischen Integralen X, A', Æ, £' 
  
UD LI LU 
KE' + K'E KK' = 3. 
Die Gleichung z = sizam hat, wenn z einen Punkt der zweiblátterigen 
RrEMANN'schen Flüche bezeichnet, für zv die Wurzeln 
w+ AmK -- i:9n2K!, 
wenn unter w irgend eine Wurzel dieser Gleichung verstanden wird. Die rechte 
Seite in 1. nimmt hierfür die unendlich vielen Werthe an 
; Jy 
T (0 + 4m K + à: Qn Æ') + Z(w) — i : 
Setzt man hier nach der LEGENDREschern Gleichung 
zi 
S TIE 2EA 223A 
K K 2 
so erhält man 
E ; - 
21 -- Z(w)-- AmE — n-9i(E' — K^. 
K / 
  
    
   
   
  
  
    
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
     
  
  
  
  
   
  
  
  
    
   
    
   
  
   
  
   
  
   
   
  
  
     
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