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§ 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 805 
Ist w = Æ, so wird das Integral dritter Art als vollständig bezeichnet. Nach 
9. ist 
V CER, £2 a) = l(a, 2, K) + KZ(a) — «Z(K). 
Da nun : 
Wa, 2, K) = 0, ZK)Y= 0, 
so folgt die zur Berechnung eines vollständigen elliptischen Integrals dritter Art 
brauchbare Gleichung 
3e HA, 4, a) zo), 
die auch sofort aus 1. gewonnen werden kann. 
8. Das LEGENDRE'sche Integral dritter Art ist mit dem Jacosr'schen durch 
die iic verbunden 
  
  
dz lane am d 
1. EE on ab UR TI (ze, hu), 
J (1 4-27 2) V1 - 2?) (1 — 43g) am a. 
: : À 
Sin am W = ZZ, sn?amo-- B 
Ist A negativ und — A > 42, so ist — A: Z? ein unechter Bruch, mithin a 
e ) 2 
complex; ist À positiv, so ist szz az « und daher auch « rein imaginir. In beiden 
Fällen ist, wie überhaupt bei realem X, das LEGENDRE'sche Integral Il, real mit 
zw, während in i. rechts ein nicht realer Parameter « vorkommt. 
Wir wollen zeigen, wie man die imaginüre Form in diesen Füllen vermeiden 
kann. Wir untersuchen gunichst das besondere Integral 
dz ; 
(1— 22) VI — a3) — 820 
  
hier ist À = — 1, also 
Sin amo == a= K-r- iK. 
Nun ist 
Sis w—K—iK' 
" K 
Hw, £4, K + iK") = wZ(K + iK') + we T d : 
E 3E (w+ K+ iK 2 
Damit zw den Werth A + 7K’ annehme, hat z von 0 bis 1 zu gehen, den 
Punkt 1 in einem verschwindenden Halbkreise in der Richtung der abnehmenden 
Winkel zu umgehen und dann geradlinig die Strecke bis 1:4 zurückzulegen. 
Daher ist 
K-rzA' 
E 
Z(K -- iK!) = far am w dw — x E +Æ") 
e EK' 
== BE—UB' ~ EY — 8 — iT 
ER 
= il +2 — x). 
Ferner ist bekanntlich 
Yok (w— K—iK") S (K+ iK' — w) oe Yor T (wv — K) i 
Eme na uà AE si t A AK 
ar T - (qu + K+ iK'") Ey. (K+ iK' + w) 9 IX (w + K) 
Mithin ist