is l. in 9. ein- 
ir erhalten 
rsina) +c=—0 
25y, 4- c — 0. 
is Produkt der 
n 7, er hängt 
les Punktes P, 
tz: Wird ein 
das Produkt 
r bis an den 
Produkt wird 
{reis genannt; 
'unktes Æ in 
t der Werth, 
wenn man in 
»cken sich also 
^! verschiedene 
er Werth XK ist 
unkte innerhalb 
2. befriedigen; 
man 1. mit z? 
ie Gleichungen: 
3€ zm 0, 
n2 sm Q. 
sind, wie man 
rmung gewinnt: 
iscentrums, von 
t einen Kreis 
oder verfehlt 
$ 8. Der Kreis. 69 
ihn, je nachdem ihr Abstand vom Kreiscentrum kleiner, ebenso gross 
oder grósser als der Halbmesser des Kreises ist. 
6. Die Bedingung der Berührung kann man schreiben 
(n? + n°)p2 — (ma + nb +p)? = 06 
hieraus folgt weiter 
m? ^) ( m 7 ) 
1. ee + ~sYo? ———0a + —6ö— 1) = 0. 
(5 pJ* —? =p 
Da nun und = die Coordinaten v, v der Geraden 7’ sind, so folgt 
aus l. die Gleichung des Kreises in Liniencoordinaten zu 
9. (u? + 02) p? — (au 6v — 1)? = 0. 
Wir bemerken hierzu, dass a + bv — 1 = 0 die Gleichung des Kreis- 
mittelpunktes in Liniencoordinaten ist. 
Wir wollen die linke Seite der Gleichung des Kreises in Liniencoordinaten 
mit $ (für verschiedene Kreise mit $5, $,, . .), und mit denselben Buchstaben 
auch den durch die Gleichung $ — 0 dargestellten Kreis bezeichnen. Ein Kreis 
wird daher mit X oder & bezeichnet, je nachdem wir von seiner Gleichung in 
Punkt- oder in Liniencoordinaten ausgehen. 
7. Die Gleichung der Geraden, die den Kreis 
K zs x? 4- y? — 2ax — 20y -- c0 
im Punkte 7, berührt, kann aus der Bemerkung gewonnen werden, dass die 
Tangente durch P, geht und normal zu MP, ist. Die Gleichung von MP, 
ist (8 5, No. 3) (y,—2)x — (x4—2)y - (10 —3,8) = 0 folglich ist die 
Gleichung der Tangente (8 5, No. 9) 
(9, —e)(x—3x,) + 1-00 —30) — 0 
8. Um die Coordinaten der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise $, und 
$8, zu erhalten, haben wir die Gleichungen beider Kreise in Liniencoordinaten 
aufzustellen 
1 Sy m (u2--02)pd — (aqu -- 60 — 1) — 0, 
2. $, 2 (u* -- a3) pf — (aqu -- 0,0 — 17 — 0, 
und die Wurzeln dieses Systems zu bestimmen. 
Wir wollen die Ausdrücke 242 + 6,2 — 1 und a,» + by — 1 mit A und 7, 
bezeichnen, so dass also M — 0 und 2, — 0 die Gleichungen der Mittelpunkte 
beider Kreise sind. Dann gewinnen wir aus 1. und 2. 
3. 0$ 8, — of, e p? 73 — pd P1 — 0. 
Die linke Seite der Gleichung 3. zerfällt in Faktoren 
4. (ojo. — po) (3 Po + 601) = 0, 
also zerfällt die Gleichung in die linearen Gleichungen 
5 P= pP pl = 0, 6. P' = pF + poly = 0. 
Die Coordinaten der gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise &, und &, 
erfüllen also entweder die Gleichung 5. oder 6., gehen also durch den Punkt 
$$ — 0 oder durch den $'— 0; und umgekehrt: Jede Gerade, welche durch 
$$ — 0 oder durch $3 — 0 geht und der Gleichung &, — 0 genügt, d. i. also 
jede von $$ oder von $3, an den Kreis $, gelegte Tangente, genügt auch der 
Gleichung $, — 0, ist also gemeinsame Tangente beider Kreise. 
Wie aus den Gleichungen 5. und 6. ersichtlich ist, liegen die beiden Punkte 
P und P' auf der Geraden P„P,, also auf der Centralen beider Kreise. Nach 
8 2, No. 6, theilen sie die Strecke 2,2 in den Verhältnissen 
PB: BE = — 001 AP: PL, = pip