Integralrechnung.
Der von 4 bis P reichende Lemniscatenbogen hat die Länge
w ©
do a / de
S E Em E ERU
. y cos 2m V2 : y1 — 1sin?o
0 0
Also ist
und der Lemniscatenquadrant S
@ f 1
s = 57 (5 c
Soll die Summe zweier Lemniscatenbogen s, und s, einem dritten Lemnis-
catenbogen s gleich sein, so müssen die Amplituden @,, 9, ¢ durch eine der
üquivalenten Gleichungen verbunden sein, welche das Additionstheorem enthalten.
2. Wir wollen bei dieser Gelegenheit zeigen, wie das Additionstheorem
durch eine geometrische Construction erledigt werden kann.
Man zeichne zwei Kreise, emen mit Cen-
cS trum À und Radius A4, den andern im Innern
m des ersteren mit Radius z; der Abstaud A5
d der Centra sei % Im grösseren Kreise ziehe
man zwei Sehnen 27 und ZZ, die den
kleineren berühren.
Sind «, 8, v die Winkel DAC, EAC, FAC
und AH LG B, so hat man BG = HG + BH,
d.i z- Rcos(y — B) + hcos(y +B),
— (R+ M) cosB cosy + (R—Rh)sinG sin.
Ferner folgt aus CB]
UT > à
\
1l. r — (R + h)cosa,
daher ist
Bl,
(M. 571. 2. cosa. = cosB cosy + 3 SD sm.
(M. 577.) | Ï F177 i Y
Man kann nun Z immer so bestimmen, dass für einen gegebenen Modul 4 — 1
R— 7 ——
9 9 c2422 .
3. DB = — £? sin? a.
3 X V1 RES ;
es folgt nämlich hieraus
4. Au A.
9
Man sieht, dass dieser Werth von Z4 kleiner als A ist, und dass nach 3.
A — A grösser ist als (R + 4) 1 — sin?a, also grôsser als z; es wird also
immer mit willkürlich gewählten Z und 2 und aus 4. und 1. bestimmten 4 und 7
die Figur mit der vorausgesetzten Anordnung der Kreise erhalten. Führt man
nun 3. in 2. ein, so erhált man
cosa. = cosB cosy + sinB siny Aa) .
Dies ist aber bekanntlich die Bedingung, unter welcher
1. Fa, £4) -- FA: FS.
Sind nun 4, «, 0 gegeben, 4 gesucht, so wáhle man A beliebig, construire
dann A und z nach 4. und 2., mache ZAC = 260, und ziehe von Æ die Gerade
EF so, dass sie den kleinen Kreis berührt; alsdann ist y = 1 FAC.
Die zweite von Z an den kleinen Kreis gelegte Tangente X/, bestimmt
einen Winkel y = LCA F,, der die Aufgabe 10st
Flo, 2) — FB, Bb = F(y 4.
a
Zi
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oder, w
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