814 Integralrechnung.
aussprechen: Ein Lemniscatenbogen kann durch Lineal und Zirkel in
9" gleiche Theile getheilt werden.
4. Rectification der Ellipse.
eines Ellipsenpunktes mit Hülfe eines Winkels e durch die Gleichungen ausge-
drückt
Werden die rechtwinkligen Coordinaten
x = asino, y — bcose,
so ist ein vom Endpunkte der kleinen Achse an gerechneter Bogen der Ellipse
©
$ - [vais -- à? sin? o dq .
0 UU
Bezeichnet man die numerische Excentricitát y 2? — 0? : a mit 4, so erhält man
5 = ak, %).
Alle auf Integrale zweiter Art bezüglichen Sätze finden also ihre geometrische
Deutung als Sätze über Ellipsenbogen. Das Additionstheorem
Ep) + EW) — E(s) = A? sinssine sin
lehrt: Zu zwei gegebenen Ellipsenbogen s und s, lüsst sich immer
ein dritter s, construlren, so dass das Trinom
5 + 54 — 59
geometrisch construirt werden kann.
Nimmt man insbesondere = = 4x, so ist s, ein Ellipsenquadrant und daher
— s. ein Ellipsenbogen s', der vom Endpunkte der grossen Achse ausgerechnet
1 i 5 ) - 5 &
$2
wird. In diesem Falle hat man
; a? — b? |
§ — § = ———— sing sin
a“ :
oM cosq Ag
sind = — 9— .
T ] —4?2 5229
Man erhilt so den Satz: Zu jedem in einem Scheitel beginnenden
inten lässt sich ein im andern Scheitel
Theile eines Ellipsenquadra
beginnender Theil construiren, so dass der Unterschied beider Theile
construirbar ist.
5. Rectification der Hyperbel.
punktes, bezogen auf die Symmetrieachsen, hat man
x = acosttq, y = bcotg,
und. daher für den vom Scheitel anfangenden Bogen
Für die Coordinaten eines Hyperbel-
Ve? — q? sin? o
S — A up” re + 7
. sin? ©
Durch theilweise Integration erhält man
n Ag f cos? ff,
9 T
— FY deo = — cotgÂe — k° do.
; / sin? © ? vor = A T
Ferner ist
Deom
COS
£? — r4
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Daher hat man
Ag do 2
2. > lo — — € JA: Ao Sh £!8 emn o do.
[= cq cote AQ À - À . À (q) de
Setzt man nun in 1.
so erhält man durch 2.
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