Integralrechnung. 
2x Oy ox Oy 
C ow C 9 Oo cw 
Fr OR - oA. OR ; 8 
= ABl cose | sing + Reoso] — a sing | z cosp — Rsing 
00 NO © ow * \ 0 
oR 1 0 (R? 
— AB -R— = AB: AR 2 
ow > Cd 
A BC sinwcosw 
  
= 7 (BCcos? ocos? q -- CAcos? osin? q 4- ABsin? 0)? 
Daher ist schliesslich 
S + asc) f : eoe de T DEN UNS. 
: (B Ccos? cos? o -- CAcos? osin? q + ABsin? E 
Zur Orientirung über das Vorzeichen in Verbindung mit der Anordnung der 
Grenzen dient hier folgende Bemerkung. Die Fläche ,S ist stets positiv; wird 
nun für « immer ein spitzer Winkel, und die unteren Grenzen kleiner als die 
oberen genommen, so ist das obere oder untere Zeichen zu wühlen, je nachdem 
A BC positiv oder negativ ist. 
Die relativ einfachsten Resultate wird man bei der Wahl bestimmter 
Variabeln immer erhalten, wenn man die Grenzen constant nimmt. In unserm 
Falle würde das die geometrische Bedeutung haben, dass wir das Stück der 
Fläche bestimmen, welches von zwei Curven begrenzt ist, lángs deren jeder die 
Normalen gleiche Neigung gegen die X Y-Ebene haben, und von zwei anderen, 
mit diesen in der Begrenzung abwechselnden Curven, lings deren jeder die 
  
C 
Normalen einer bestimmten Verticalebene parallel sind. 
Die Punkte, deren Normalen die gemeinsame Neigung w gegen die X Y- 
Ebene haben, haben als Horizontalprojection die Curve 
ie = 5 EA 
C— A(C — Ax? — B(C— B)y?’ 
oder, besser geordnet 
A(Atang?o + C) | 
SE C C eur + C 
Es ist bemerkenswerth, dass diese Curve auch der Durchschnitt der Fläche 
Ax? + By? + Cz? = 1 
mit dem Kegel zweiten Grades ist 
A? x? + B2?y? — (Ccotw)?z* = 0. 
Lässt man w von Null bis }x= wachsen, so zieht sich der Kegel, der anfangs 
mit der X Y-Ebene zusammenfällt, enger und enger zusammen und fällt schliess- 
lich mit der Z-Achse zusammen; dabei bedeckt sich die Fläche zweiten Grades 
mit Zonen von verscwindender Breite; an den beiden Rändern jeder solchen 
Zone haben die Normalen unendlich wenig verschiedene, längs desselben Randes 
  
B(Btang? ov + B) 
Vz) 
constante Neigung. 
Der Inhalt einer solchen Zone wird gefunden, wenn man in 5. die auf 
9 
bezügliche Integration zwischen den Grenzen 0 und 2« ausführt; um die Zone 
¢ zu erhalten, an deren Rändern die Normalen die Neigungen wg und w, haben, 
hat man alsdann die auf o bezügliche Integration von e, bis o, zu erstrecken; 
es ist also 
o, 2x 
; 5 zd. a cos o do d 
S = ABC PAL CR 3 pev c eT OA 
(C cos? o cos* q + C A cos? w sin? q -- A D sin* w) 
wo 0 
      
   
      
  
   
  
    
  
   
  
  
  
  
  
  
   
   
   
  
   
   
  
  
  
  
   
   
  
   
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
U 
und s 
dadur 
mithin 
D 
der Ur 
Zeiche 
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so sinc 
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und fü 
hierdur 
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