ann dann 
'egebenen 
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gral einer 
x und y 
alten; ist 
P enthält, 
Tangente 
jung dem 
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fferential- 
llgemeine 
gleichung 
1. und 2. 
unkt x, y 
1 mit den 
rhält man 
e auf der 
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823. Allgemeine Sátze üb. Differentialgleichungen erster Ordnung m. zwei Veränderlichen. 8 
Aus 5. ergiebt sich 
6. x — 3C + yy = 0. 
Führt man zunächst den hieraus folgenden Werth 
X — 9C = — RECyy 
in 5. ein, so folgt 
4 Cy33'2 + A*y9 -— C. 
Vergleicht man den hieraus folgenden Werth von C mit dem aus 6. sich 
ergebenden, so entsteht die zu 5. gehórige Differentialgleichung 
e JJ a. QT 
2 7, A I e emma 
J 5 £^ x y? 0, 
oder auf y reducirt 
' 1 18509. 079.19 LAT A 
y = 24 xy (æ2 y? zi y 4a? — 84? xy? zi £^ yt) . 
D. Die Gleichung 
T. 2 — 3Cy + C3 = 0 
reprisentirt eine Reihe von Geraden, fiir welche das Quadrat des Abschnittes 
auf der X-Achse zum Cubus des Abschnittes auf der Y-Achse das constante 
  
  
Verhiltniss = — 27:4 hat. Aus 7. folgt 
9 m 36y, 
und hieraus und aus 7. die Differentialgleichung 
27 : 
xy? — y? + Re. 
E. Aus dem allgemeinen Integrale 
EE Y 9 1 fy ) 
p= L(Yx2 — xy —y + 2%) — —= dretang —— 2 1— = 4-11] € 
ya ys s 
folgt durch Differentiation 
0o Vaid. is 
0X — x(2x — y ya? — xy) 
60 1 
0y 9x— y yx —xy 
Daher ist die zugehórige Differentialgleichung 
X 
ima ys. 
y zi 1 
5. Die Aufgabe: Zu einer gegebenen Differentialgleichung das 
allgemeine Integral zu finden (eine Differentialgleichung zu integriren) ist 
im Allgemeinen durch die bisher bekannten Functionen (Integrale von Functionen 
mit inbegriffen) nicht lösbar. Im Allgemeinen werden durch Differential- 
gleichungen neue Functionen definirt. Es besteht dann die Aufgabe, aus 
der Differentialgleichung die Eigenschaften der durch sie definirten Function 
möglichst erschöpfend abzuleiten, und ein Verfahren anzugeben, durch welches 
die Function annäherungsweise gefunden werden kann. 
Wir wollen ein solches Annäherungsverfahren zunächst für Differential- 
gleichungen erster Ordnung angeben. Um ein Integral der Gleichung 
1. y = (a J) 
zu erhalten, gehen wir von einem beliebigen Punkte PP, aus in der Richtung 
Jo! — f (xq, yg) um eine kleine Strecke bis zu dem Punkte P,, dessen Coordinaten 
X, zm Ka FANG Yı = Jo + Ay, sind, wobei also 
Ayo = (Xo Jo) Meo -