Integralrechnung. 
Hierauf gehen wir von P, bis zu dem Punkte P,, für den x2 = XA 
Va =}, + Ây,, Wobei 
  
Ay. cm Jp PAM, 
und so fort, so dass wir von jedem Punkte 7; bis zum nüchsten 24, in der 
Richtung weiter gehen, für welche 
Ay; Jua — 3m (ns 3) A, Axim aua — di. 
Gehen die Abscissenveránderungen Ax,, Ax,, Ax, ... zur Grenze Null 
über, so geht das Polygon PP P, . . . in eine Curve über, und diese Curve 
ist ein Integral der Differentialgleichung y' = f(x, y). 
6. Wenn zwei allgemeine Integrale einer Differentialgleichung 
I. O. nach den willkürlichen Constanten aufgelóst die Gleichungen 
ergeben 
]. B= lf: 
so ist 7] eine Function von /, d. h. wenn man aus der Gleichung f(x, y) =f 
die Variable y (oder x) berechnet, indem man das rechts stehende / als neue 
Variable betrachtet, und diesen Werth in ./ substituirt, so enthält Z dann nur 
die Variable /, nicht auch x (oder y). 
Durch Differentiation folgt aus 1. 
OF OF of 
2x dx + dy dy em. 
In beiden Gleichungen kommt keine willkürliche Constante mehr vor, aus 
beiden muss sich also für alle Werthe von x und y derselbe Werth für 3" er 
geben; die nothwendige und ausreichende Bedingung hierfür ist das Verschwinden 
der Determinante 
| SE 
La ^ | 
9 | gu vy [foe 0 
: lor 27 
| ox oy | 
Drückt man y in der angegebenen Weise durch x und f aus und setzt dies 
in / ein, so erhalte man $. Diese Function kann nur / und x enthalten; man hat 
: 08 OF oF by 
ox 0x Oy Bx 
Bei dem letzten Differentialquotienten ist y als Function von x und f gedacht 
und vorausgesetzt, dass sich / nicht ündert; daher bestimmt sich derselbe aus 
der Gleichung 
Pa 11, 
BUN a dy =0, 
Ox Oy 
Wird der hieraus folgende Werth in 3. eingesetzt, so ergiebt sich 
Ox ^ ox dy Ox’ dy 
oF Of UF UN Df 
Es (55 rr 5 EE 
Da nun / nicht frei von y sein kann, so folgt aus 4. und 2. 
0% 
x = © 
also enthält Ÿ die Variable x nicht, w. z. b. w.*). 
*) Statt dieses Beweises hütte auf den Satz Diff. Rechn. 8 4, No. 5 verwiesen werden 
à 
kónnen; wir haben es vorgezogen, einen selbstündigen Beweis für den einfachsten Fall jenes 
allgemeinen Satzes zu geben und bemerken, dass der Gedankengang disses Beweises sich auch 
auf den allgemeinen Satz anwenden lüsst. Vergl u. A. BALTZER, Determinanten, S 12. 
      
      
   
  
   
   
  
   
  
  
  
   
  
  
  
     
  
  
  
  
    
   
   
  
  
   
  
  
    
   
   
  
   
  
  
      
      
     
  
  
    
stante 
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folgt: 
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