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Divisor enthält. 
h Q der Grenze 
a, = o. 
zum Theil oder 
aaren bestehen 
71 
  
8 8. Der Kreis. 
Die Gleichung /(x, y) — 0 ist die Gleichung einer Curve zten Grades. Wir 
haben daher den Satz: Eine Curve zten Grades hat z in unendlicher 
Entfernung liegende Punkte; dieselben legen in der Richtung der 
durch den Nullpunkt gezogenen Geraden, die die Gleichung haben 
x:y ris, wobei z:s eine Wurzel der Gleichung ist: 
pe # \ | 
€ "s i Q4 = mis 
11. Wir kónnen diesen Satz auch für den Fall gelten lassen, dass die 
Gleichung 3. conjugirt complexe Wurzeln enthált; mir müssen uns nur dann 
7 
+ Ay + à, — 0. 
dazu entschliessen, auch von imaginären Punkten zu sprechen, und zwar in 
dem Sinne, dass wir sagen: ein Punkt mit den complexen Coordinaten x = a + 76, 
y — € 4- id, (i & V — 1) liegt auf einer Curve /(x, y) — 0, wenn diese complexen 
Werthe der Gleichung genügen. Imaginäre Punkte sind allerdings nicht construir- 
bar und geometrisch nicht vorstellbar; durch ihre Einführung in die Geometrie 
gewinnen aber solche Sátze, die durch analytische Operationen abgeleitet worden 
sind, einen hóhern Grad von Allgemeinheit, und es zeigt sich auf geometrischem 
Gebiete derselbe Vortheil, den die Algebra durch Anerkennung der complexen 
Zahlen erlangt hat. 
Hat man sich zu imaginüren Punkten verstanden, so liegt nun kein Bedenken 
dagegen vor, in besonderen Füllen auch complexe Gerade oder überhaupt com- 
plexe Curven einzuführen, indem man darunter solche Linien versteht, in deren 
Gleichungen complexe Coefficienten vorkommen. 
Die allgemeinste Form der Gleichung einer complexen Geraden ist 
T' zx (a4- ia)x + (b 4a- iP)y + (+) = 0. 
Soll diese Gleichung durch einen realen Punkt erfüllt werden, so müssen 
dessen Coordinaten den einzelnen Gleichungen genügen 
ax + by + ¢ = 0, 
ax + by + = 0. 
Hieraus folgt ein einziges Wurzelpaar x, y. Wir können daher den Satz 
aufstellen: Jede imaginäre Gerade enthält einen, aber auch nur einen, 
realen Punkt. 
Als conjugirt complexe Gerade werden wir folgerichtg zwei Gerade 
bezeichnen, deren Coefficienten der Reihe nach conjugirt complex sind. 
Die conjugirt complexe Gerade zu 7' ist also 
7" zx (a — ad)x -- (b—ibP)y + (e—id) = 0. 
Wir haben daher den Satz: Conjugirt complexe Gerade haben einen 
realen Punkt gemein. 
Unter conjugirt complexen Punkten haben wir zwei Punkte zu ver- 
stehen, deren Abscissen und deren Ordinaten conjugirt complexe Werthe haben. 
Sind also x = E -- zt, y — n 4- iy die Coordinaten eines Punktes 7j so hat 
der conjugirt complexe Punkt Z' die Coordinaten x = E — àr, y= 1" — 2. 
Soll durch Peine reale Gerade gehen, ax + dy + c — 0, so müssen die beiden 
Gleichungen erfüllt sein a& 4- 2 -- c — 0, ar+dy = 0. Hieraus folgt 
a y b t 
P ARCU WE e 
Hierdurch ist die reale Gerade eindeutig bestimmt; die Coefficientenverhált- 
nisse 2:c und 2:c ündern sich nicht, wenn die Werthe r und » ihre Zeichen 
wechseln, d. i. wenn man den Punkt 2 mit dem conjugirt complexen Punkt ' 
vertauscht, "Wir erhalten daher die Sätze: Durch einen complexen Punkt