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& 23. Allgemeine Sátze über Differentialgleichungen erster Ordnung m. zwei Veründerlichen. 827 
Die Gleichungen 1. und 5. ergeben die Verzweigungscurve des allgemeinen 
Integrals Die Gleichung 6. sagt aus, dass die durch 2. definirte Function C von 
y' nicht abhüngt; sie ist daher nicht statthaft. 
Wir fassen die Ergebnisse dieser Untersuchungen in folgenden Satz zu- 
sammen: Ist #(#, 7, #) —.0 eine Differentialgleichung 1 O. und 
Q(x,y, C) — 0 das allgemeine Integral derselben und sind x, y, y, 
bez. x, y, C in den Functionen F und ® nur in eindeutigen Ver- 
bindungen erthalten, so kann die Resultante, die durch Elimination 
von C aus 
Q — 0 und em = 0 
OC 
hervorgeht, hôchstens um einen Faktor, der eine ganze Function 
von x allein ist, von der Resultante verschieden sein, welche durch 
Elimination von y' aus den Gleichungen 
# = 0 und 2 = 0) 
entsteht. Wenn die erstere Resultante der Differentialgleichung 
genügt, so ist sie das singuläre Integral der Differentialgleichung, 
soweit sie nicht durch Specialisirung der Constanten C aus dem all- 
gemeinen Integrale hervorgeht. 
13. Für die Ableitung des singulären Integrales haben wir daher folgende 
Wege: 
a) Ist das allgemeine Integral auf C reducirt, so bilde man die Bedingung 
dafür, dass zwei Werthe für C zusammenfallen. 
b) Sind in dem Integrale (x, y, C) — 0 die Gróssen x, y, C nur in em- 
deutigen Verbindungen enthalten, so eliminire man C aus 
eo 
Q 0, und = 0 
0C 
c) Ist die Differentialgleichung auf y' reducirt, so bilde man die Bedingung 
dafür, dass zwei Werthe von y' zusammenfallen. 
d) Sind in der Differentialgleichung (x, y, )) — 0 die Gróssen x, y, )' 
nur in eindeutigen Verbindungen enthalten, so eliminire man j' aus 
Lie und 0. 
1) 
Die auf einem dieser vier Wege erhaltenen Gleichungen hat man darauf hin 
zu prüfen, ob sie der Differentialgleichung genügen; soweit diese Bedingung er- 
gefunden; dasselbe ist 
singulär, soweit es nicht durch Specialisirung der Constanten aus dem allge- 
meinen Integrale abgeleitet werden kann. Nach Anwendung der Methoden c) 
und d) hat man noch nachzusehen, .ob die Gleichung x == y für irgend einen 
constanten Werth y der Differentialgleichung als singuläres oder particuläres 
Integral genügt.) 
14. Wir betrachten als Beispiele die in No. 4 aufgestellten Differential- 
füllt ist, hat man ein Integral der Differentialgleichung 
gleichungen. 
A. Die Differentialgleichung No. 4, 6 
*) Auch ohne Kenntniss des allgemeinen Integrales kann man entscheiden, ob man nach 
den Methoden c) oder d) zu einem singulüren oder particuláüren Integrale gelangt ist, 
Vergl. u. A. E. Prix, Ueber singulire Losungen der Differentialgleichungen I. O. Progr. d. 
1876. 
Realschule zu Annaberg i. S.