Integralrechnung.
52 :
F=y'? — A = 0
hat das allgemeine Integral
D = (y— C)? — 2px = 0.
Man erhält
dF db
,
Spr = 2 77 = — U(y—C).
4 oF (3 —C)
Die Verzweigungscurven sind: fiir die Differentialgleichung
52
für das allgemeine Integral
[lo — yy? —95x
W=|2 —2y 0 = — 8px = 0.
| 0 9 —2y |
Das singuläre Integral ist x = 0.
B. Zu der Differentialgleichung
Jom UV gi at)
x? — a?
gehôrt das allgemeine Integral
y + Va? +9? — a? = C.
Aus beiden Gleichungen folgt das Integral
x? + y? — a? = 0;
dasselbe ist singulär, da für die Punkte desselben C = y, also variabel ist.
C. Das allgemeine Integral der Differentialgleichung
9 22,2 4;
y 2£7y? — x
Fm y? y + = 0
X £*x y?
ist
D = 3C? — (Ax — £2?) C -- x? — 0.
Die Bedingungen für das Zusammenfallen zweier Wurzeln y' bez. C sind
gung J
1
LT RIE AN 24941
iA xy (8£?x y Ax £415 zz,
bez. 822% y? — 4x2 — kyr = 0.
Die letztere Gleichung ist das singuläre Integral. Man überzeugt sich leicht
dass es der Differentialgleichung gentigt. Durch Differentiation folgt nämlich
diem n iO)
&?y (Ax — £2y?)'
Ferner folgt aus dem singulüren Integrale
)
9
hay zz 9x(9-r- V3 y X — Ay? — — 9x y3,
X — 2? = — x(8--9y3).
Mit Hülfe dieser Werthe ergiebt sich
ys z
nee,
Derselbe Werth folgt aus der Differentialgleichung für die Punkte, welche
dem singulären Integrale genügen.
D. Die Differentialgleichung
dad
F= xy — y? -L— = 0.
|<]
hat das allgemeine Integral
® = C3-— 3Cy + 2x = 0.
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