| ist. 
' sind 
:h leicht, 
mlich 
, welche 
8 24. Integration der Differentialeleichungen erster Ordnung mit zwei Veründerlichen. —$82c 
o 5 5 5 S 
Die Bedingung für das Zusammenfallen zweier Wurzeln y' bez. C, 
ist das singuläre Integral. 
E. Die Differentialgleichung 
hat das allgemeine Integral 
+ 2 à of y 
Ly a? — Xy — y -r 2x) — —— Arctang ——|2 1——-r-1] = C. 
V3 s x 
Fiir die Verzweigungscurve 
xX —y==1( 
ist =, 
während für die Punkte derselben aus der Differentialgleichung folgt 
Yy=2. 
Daher ist in diesem Falle die Verzweigungscurve kein Integral 
der Differentialgleichung. 
F. Hat die Differentialgleichung die Form 
Jj = + yv 
wobei # und WV rationale Functionen von x und y sind, so ist ihre Verzweigungs- 
curve 
Y = 0. 
Der aus dieser Gleichung folgende Werth von y' stimmt im Allgemeinen 
nicht mit dem aus der Differentialgleichung unter der Bedingung W = 0 folgen- 
den Werthe 
Yom X 
überein; die Verzweigungscurve ist daher für Differentialgleichungen dieser Form 
im Allgemeinen kein Integral Das vorige Beispiel bildet hiervon einen be- 
sonderen Fall. Ausnahmen bilden u. A. alle Differentialgleichungen, deren 
allgemeines Integral die Form hat 
2: F+ Ve =C, 
wobei / und ¢ rationale Functionen sind 
Zu 2. gehort die Differentialgleichung 
el 
; ox ox 
MET YE GE Sw 
9 
og vx 83 
welche auf die Form 1. gedacht wird, indem man den Nenner rational macht. 
$ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei 
Veränderlichen. 
1. Wir wenden uns nun zur Integration der Differentialgleichungen I. O. 
Eine allgemeine Methode, durch welche die Herstellung des Integrals in 
geschlossener Form geleistet oder auf gewöhnliche Integrationen zurückgeführt 
werden könnte, giebt es nicht; wir müssen uns begnügen, eine Reihe von Fällen 
anzugeben, in welchen die Integration ausgeführt werden kann, und schliesslich 
Methoden zu entwickeln, nach welchen das Integral in Form einer unendlichen 
Reihe gewonnen wird. 
Das Integral der Differentialgleichung Mdx + Ndy = 0 ist sofort gefunden,