830 Integralrechnung. 
wenn die Variabeln getrennt sind, d. i. wenn M nur eine Function von x, 
und N nur eine Function von y ist; schreiben wir, um dies zu veranschaulichen, 
e(x) und (y) für 77 und JV, so haben wir die Differentialgleichung 
px) dx + b(9)dy = 0, 
und erhalten hieraus ohne Weiteres 
Se(æ) dx + Jy(9) dy = 
Willkürliche Constanten bei den Integralen anzubringen ist in diesem Falle 
wegen der rechts stehenden Constanten nicht nöthig. 
Beispiel. Aus 2(a -- x)dx 4- 3y?dy — 0 
folgt das allgemeine Integral (a + x)? + y? — C. 
9. Wenn die Variabeln nicht getrennt sind, so gelingt es zuweilen durch 
Division oder Multiplication mit Functionen der Variabeln die 
Trennung herbeizuführen. So ergiebt sich aus 
1. X,Y, dx + X,Y, dy = 
durch Division mit X, Y, 
ma dx —+ f dy = 0 
x . y Ww 
Sind nun X,, X, Functionen von x allem, und Y,, Y, Functionen von y 
allein, so ist das SOS PCIE Integral von 1. 
[€ da - [3 dy C. 
Beispiele. A. xy? dx — (a— x)(b —y)dy = 0. 
x ( à 1 
Hieraus folgt ee m — y? — ;) dy pum 0; 
daher ist das allgemeine Integral 
xy — b 
ly — alla — x) = m T 4- C. 
B. (1 2- 52) x -- (1 2- x?) dy = 0. 
Ix 7 
Diese Gleichung ergiebt E T = A res 0; 
] 4- x* 1 + y? 
daher ist das allgemeine Integral 
arc tang x + are tangy = C. 
C. y1—J 4x + y1— x?dy — 
E dx A 
Hieraus folgt DD + A — 0: 
daher ist das allgemeine Integral 
arc sinx + arcsiny = C. 
Giebt man der RR RE die Form 
de Y: | -— 
d 
so erkennt man, dass die singuláren Lósungen in der Gleichung enthalten sind 
{1 050—290. 
Alle vier hierin enthaltenen Geraden genügen der Differentialgleichung; da 
keine durch Specialisirung aus dem allgemeinen Integrale hervorgeht, so sind 
alle singuläre Lösungen. 
3. Eine Reihe von einfachen geometrischen Aufgaben führen auf Differential- 
gleichungen erster Ordnung, in denen die Variabeln getrennt werden kónnen 
A. Die Curven zu bestimmen, bei denen die Subnormale eine gegebene 
Function ¢(y) der Ordinate ist. | 
       
   
  
   
  
  
  
  
  
  
     
    
   
   
  
  
  
  
   
  
  
   
   
  
  
  
    
   
  
   
   
  
    
  
   
   
  
  
   
  
  
     
Au 
folgt 
B. 
die Dif 
und da 
C. 
nate i: 
und da 
D. 
also 
E. 
hieraus 
De 
F. 
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G. 
nate u 
Curve 
Differe: 
WOraus 
W 
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4. 
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so ge. 
Da in 
folgt,