72 Analytische Geometrie. 
geht eine, und nur eine reale Gerade. Zwei conjugirt complexe 
Punkte liegen auf derselben realen Geraden. 
12. Wir kehren nun zu der in No. 9 abgebrochenen Untersuchung zurück, 
Setzen wir in der Gleichung eines Kreises A — x? -- y? — 9ax — 96y 4- c — 0j 
für x und y die Werthe x = 70, y= sw, und dividiren dann durch o?, so ent- 
1 1 1 . PE 
steht: 7? + 52 — 972 - — — 95 + — + — =. Setzen wir nun, um die im 
w e w 
Unendlichen liegenden Punkte des Kreises zu bestimmen, « — oo, so folgt die 
Gleichung z? -- s? — 0, welche für das Verhàáltniss 7 :s die beiden ccnjugirten 
Weithe liefert 7z: s — 3 7. 
Alle Punkte, deren Coordinatenverháltniss einen gegebenen Werth v hat, 
liegen auf der durch den Ursprung gehenden Geraden x: y — v, oder x — yy — 0. 
Wir sehen daher: Auf jedem Kreise liegen die beiden unendlich 
fernen conjugirt. complexen Punkte, welche auf den durch den 
Ursprung gehenden conjugirt complexen Geraden x — zy = 0 und 
* + iy — 0 enthalten sind. Hieraus folgt weiter: Alle Kreise einer 
Ebene haben zwei conjugirt complexe unendlich ferne Punkte mit 
einander gemein. Diese beiden Punkte bezeichnet man demgemiàss als die 
imaginären Kreispunkte der Ebene. 
18. Um die nicht unendlich fern gelegenen gemeinsamen Punkte zweier 
Kreise zu erhalten, subtrahiren wir die Gleichungen der beiden Kreise 
  
1. Kı= x? +y? —2a,x— 2b +c, = 0, 
2. Æ, = x? + y? — 209% — 2599 + C5 = 0, 
und erhalten 
3. L = K, — K, = 2(a3 — 44) + 2(04 — 0,)y — (63 — 4) = 0. 
Die Gleichung 3. ist linear, ist also die Gleichung einer von beiden Kreisen 
abhängigen Geraden; man nennt dieselbe die Chordale der beiden Kreise. 
Jeder Punkt, den die Chordale mit einem der beiden Kreise A, oder X, gemein 
hat, genügt der Gleichung 3. und einer der Gleichungen 1. oder 2.; seine Coor- 
dinaten annulliren also das Polynom Z — A, — K,, und eines der Polynome 
Æ, oder &,; folglich annulliren sie auch das andere, der Punkt liegt daher auch 
auf dem andern Kreise. Die im Endlichen liegenden Schnittpunkte der beiden 
Kreise sind mithin die Punkte, 1n. welchem einer derselben von der Chordalen 
geschnitten wird. Dies ergiebt: Zwei Kreise haben ausser den unendlich 
fernen imaginüren Kreispunkten noch zwei Punkte gemein, die con- 
jugirt complex, oder real sind; im letzteren Falle kónnen sie von 
einander getrennt oder unendlich nahe beisammen liegen; beide 
Schnittpunkte sind auf der Chordalen enthalten. 
Wenn die beiden Kreiscentra unendlich nahe zusammenrücken, die Radien 
aber von einander verschieden sind, so nähern sich die Differenzen 2, — a, und 
b, — b, der Grenze Null, wáhrend die Differenz c, — c, einen endlichen Werth 
behält: Der Gleichung der Chordalen Z — 0 kann dann nur durch unendlich 
grosse Werthe der Coordinaten genügt werden. Hieraus folgt: Zwei con- 
centrische Kreise haben eine unendlich ferne Chordale; ihre vier 
Schnittpunkte sind s&mmtlich unendlich fern und imaginär. 
Die Verbindungsgerade der Centra zweier Kreise hat die Gleichung 
(59 — 84) x — (24 —a,)y + (a0; — aby) = 0. 
Hàált man dieselbe mit der Gleichung der Chordalen zusammen 
(43 — 244) € + (03 — 06) y — (694—064) = 0, 
      
     
  
    
   
  
   
  
  
    
   
  
   
   
   
    
  
   
  
  
   
  
  
  
   
   
     
    
  
     
   
  
  
   
   
   
   
    
   
  
  
  
  
   
   
   
   
  
   
   
    
   
   
  
  
   
    
so folgt | 
Verbinc 
14: 
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Für 
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15. 
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Der 
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(S 5, 9) 
Aus 
Geraden 
16. 
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K, und 
Punkten : 
Kreis X 
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Kreises 
indem m: 
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Hier: 
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