74 Analytische Geometrie. 
Setzt man — m = n,, l+m=7n,, so gehen die Formeln 1. über in 
9. da um 740, -- 7505, Da == 0B Hug, Ca RB, E g6S Wobeim, e 25m T. 
Die Gleichung des Kreises X, erscheint nun in der Form: 
K; = x? + y? + (na, + 7909) X -- 9(n,0, -- nob) y -- me, + Mala AG 
Schreibt man für die Summe x? 4- y? den Ausdruck (z, 4- 23) x? 4- (2, 4-713))?, 
so erhält man für A, die Darstellung A, e uA, -- 4s Ks. 
Wenn also die Gleichung eines Kreises K, aus den Gleichungen 
zweier gegebenen Kreise X, und XK, in der Weise abgeleitet wird: 
K, = n K, + n,K, = 0, 
à 
so haben die drei Kreise eine gemeinsame Chordale. Wir bezeichnen 
  
dieselbe mit Z. 
Das Verhältniss z, : 45 kann man beliebig ändern; denn es giebt immer 
zwei Zahlen, die zusammen 1 geben und ein gegebenes Verhiltniss haben. Giebt 
man nun dem Verhiáltnisse z, : z4 alle realen Werthe von — oo bis + ee, so 
erhält man eine unendliche Anzahl von Kreisen A, die alle mit A, und mit X, 
die Chordale Z haben. Sind XK, und Kg zwei dieser Kreise, so haben AX, und 
K,, sowie As und Æ, die Chordale Z, also ist Z auch die Chordale von Æ 
und Æ3. Je zwei Kreise dieser Folge von Kreisen haben also die Chordale Z, 
die somit als die gemeinsame Chordale aller dieser Kreise bezeichnet werden 
kann. 
Eine solche Gruppe von Kreisen nennt man ein Kreisbüschel. 
Durch zwei Kreise ist ein Kreisbüschel bestimmt; sind K, und Æ, zwei 
Kreise, so werden die Gleichungen aller andern Kreise des durch sie bestimmten 
Büschels in der Form erhalten: Æ = z,K, -- 4z,K, — 0. Alle Punkte, für 
welche AK, — 0 und Æ, = 0, annulliren auch Æ, also hat man den Satz: Alle 
Kreise eines Büschels haben gemeinsame reale oder imaginäre 
Schnittpunkte. Hieraus, sowie aus den Formeln 2. folgt ferner: Die Mittel- 
punkte aller Kreise eines Büschels liegen auf einer Geraden; dieselbe 
heisst die Centrale des Büschels. 
18. Durch jeden Punkt der Ebene geht ein (und nur ein) Kreis eines 
egebenen Kreisbüschels. 
Denn soll der Büschelkreis 
I. K= n,K, + n,K, =— 0 
durch dea Punkt 2' (x', j') gehen, so müssen die Zahlen z, und 75 so gewählt 
sein, dass X von den Coordinaten von P' annullirt wird. Bezeichnet man die 
Werthe, welche die Polynome X, und X, annehmen, wenn man darın die unbe- 
! 
L ~ . . ] 5 E, x *L >} 
stimmten Coordinaten x, y durch die gegebenen Werthe x, j! ersetzt, mit: Au 
e 
o 
und K,' so hat man die Bedingung 
pA, lly = 0, oder min, = Kl — XK, 
Führt man dies in 1. ein, so ergiebt sich die Gleichung des durch P' 
gehenden Biischelkreises zu 
2. K,)K, — K,'K, = 0. 
Die Bedingung z, -- 7, — 1 braucht nicht festgehalten zu werden; um sie 
einzuhalten, hätte man die Gleichung 2. durch &,' — A,' zu dividiren, doch 
ändert sich die geometrische Bedeutung einer Curvengleichung nicht, wenn man 
alle Glieder mit einem constanten Faktor multiplicirt oder dividirt. 
Liegt der Punkt 2' auf der Chordale, so ist bekanntlich KK, = Kj; mag 
kann dann diesen Faktor aus der Gleichung 2. weglassen, und dieselbe geht 
daher über in A, — AK, 20, d. i in die Gleichung der Chordale. Die 
      
  
   
   
    
   
  
   
  
  
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
   
  
  
  
   
    
   
  
   
   
    
   
  
  
   
  
  
   
       
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