Integralrechnung. 
  
7 Lwin e oo. 
eq 0b 
= ~ 
Die Annahme 5. führt auf constante Werthe von a und ö, also auf das voll- 
ständige Integral zurück. 
Wenn die Bedingung D = 0 erfüllt ist, so ist 6 eine Function von à; setzen 
wir ó — q(a), so ist 
0b oa 0b oa | 
I z ly 
Tr Cem DO AA): — = —— 6 a IE 
Ox e (a) ox’ oy Phe, 
daher gehen beide Gleichungen 3. in die Gleichung über 
of of 
8. = + = -0'(a) = 0 
da + "P (a) o. 
in welcher à durch e(a) zu ersetzen ist. 
Die Elimination von a aus den Gleichungen 8. und 1. kann nur in seltenen 
Fällen ohne eine bestimmte Annahme über die willküriche Function 9 erfolgen. 
Das Integral der partialen Differentialgleichung, welches aus dem 
Verein der Gleichungen I., 4 = (a) und 8. besteht, und welches durch 
das Auftreten einer willkürlichen Function 9 charakterisirt ist, heisst 
das allgemeine Integral der Gleichung. 
Durch Elimination von a und à aus den Gleichungen 1. und 7. erhált man 
ein singuläres Integral der Differentialgleichung 
Beispiel. Nach No. 6 hat die Gleichung 
9. cosu-p + cosB- q — cosy = 0 
das vollstándige Integral 
10. 4x -- By -- C — 1 — 0, 
wobei die Constanten 4, 2, C durch die Gleichung verbunden sind 
11. Acosa + BcosB + Ccosy = 0. 
Durch Elimination von C aus 10. und 11. entsteht 
12. (Ax + By) cosy — (Acosa + B cosB) 3 — cosy = 0, 
Ax + By — 1 
also ist Zier —" cosy. 
> Acosu + B cos B 
Setzt man hier 
1 A 
mc TET m Umi: 4, 
4 cos a. -- B cos ß 2 À cos a + B cosB 
so erhält man 
D 1 — bcos a 
Acosa + BeosB — cos? 
und daher 
1 1 — beosa 
ES by ay 
cosy cosp 
Für die Gleichung 8. erhált man hier 
X4038 — 94058 ,,.. i 
— 1+ MÀ e(a) - 0. 
cos 
Denkt man sich für e irgend eine Function gesetzt und die Gleichung nach 
@ aufgelöst, so erhält man jedenfalls a in der Form 
a = y (x cosB — y cosa), 
wo nun 4 ebenso willkürlich ist wie o; setzt man dies in ¢(a) ein, so erfolgt 
für à 
b = y (x cos B — y cosa), 
wobei aber y durch ¢ bestimmt ist. Beide Werthe für @ und à setzen wir in 
das vollständige Integral und erhalten 
    
  
  
  
  
  
  
  
  
    
    
      
  
  
  
   
  
  
   
   
  
    
   
  
  
  
  
   
  
  
   
   
    
    
   
    
  
    
   
  
    
   
  
   
  
  
  
    
    
   
    
D 
Functi 
13. 
wobei 
J 
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wobei 
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