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S 27. Partiale Differentialeleichungen erster Ordnung.
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z 1 y
- = — U + — (xcos8 — y eosa)y -- —.
cos y cosB ^ o. ILE cost
Die beiden ersten Glieder der rechten Seite sind zusammen eine wil!kürliche
Function von (x cos$ — y cosa); daher hat man
13. z cosB — y cos; == f(x cosB — y cosa),
wobei / eine willkürliche Function bezeichnet. Aus
1 .
xcosB — y cosa = pi [(a cos; — z cosa) cosB + (z cosB — y cos) cosa
: cos | ; |
erkennt man, dass man 13 ersetzen kann durch
D (x cost — 2 cosu, z cosB — y cost) = 0,
wobei D eine willkürliche Function ist, in Uebereinstimmung mit No. 6.
Da in unserm Beispiele
0%
E mm — 0,
oa
so kann es kein singuldres Integral geben.
10. Wenn eine Gleichung z == glx, 9) die partiale Differential-
gleichungl. O. #(x, y, z, P, 9) 2 0 befriedigt, und nicht durch besondere
Werthe für a und 6 aus einem vollständigen Integrale £% = f(x, 5, a, 0)
hervorgeht, so gehört diese Gleichung zu dem vollständigen Integrale
entweder als allgemeines oder als singuläres Integral.
Denn wenn man f(x,y, a, 6) nicht durch Specialisirung der Constanten a
und 6 in g(x, y) verwandeln kann, so kann man doch jedenfalls für @ und 6
solche Functionen von x und y setzen, dass f(x, v, a, 0) = g(x,y) wird.
Aus den Untersuchungen in No. 5. folgt hieraus sofort, dass g(x, y) entweder
ein zu f gehóriges allgemeines oder singuláres Integral ist.
Ein vollstándiges Integral, das dazu gehórige allgemeine sowie das zugehórige
singuláre Integral bilden also ein volilstándiges Lósungs-System einer partialen
Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhángigen Variabeln.
11. Wir wenden uns nun zur Integration der linearen partialen
Differentialgleichungen I. O.; und zwar zunüchst zu Gleichungen mit zwei
unabhängigen Variabeln. Unter einer linearen Gleichung versteht man eine
solche, in welcher die partialen Differentialquotienten der abhängigen Variabeln
nur in der ersten Potenz vorkommen; bei drei Variabeln also eine Gleichung
von der Form
0% 0%
I. Lost il) me mf,
0x oy
wobei P, Q, R constant oder Functionen von x, y, $ sind.
Die Integration dieser Gleichung hángt auf's Engste mit der Integration de
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Systems zusammen
) dx dy dz
m Pp — Q — R *
Hat man nämlich ein Integral /(x, y, z) — a dieses Systems gefunden, wobei
a eine willkürliche Constante bezeichnet, so ist für alle Werthe, die dieser
Gleichung genügen ; :
of of of
7 dx +— — dv + =
ox oy ^ 0
o9.
Da nun f ein Integral von 2. ist, so erfüllen die x, y, z, dx, dy, dz, die der
Gleichung 3. genügen, auch die Gleichungen 2., man kann daher in 3. die
Differentiale dx, dy, dz der Reihe nach durch die Functionen P, Q, A, ersetzen,
denen sie nach 2. proportional sind; folglich hat man