Integralrechnung. 
  
0 © 0 
4 p zi Q Uf. KR 7 == 0. 
Ox oy 0% 
Da nun 
a m in of of 
ox. 7 Pron y ay Os! 
SO kann man 4. ersetzen durch 
03 03 
D T. Q A — AR — 0. 
ox Qy 
Hieraus folgt, dass /(x, y, 3) = a ein particuläres Integral von 1 ist. 
Dieselbe Schlussweise kann auch rückwärts durchlaufen werden: Ist 70% v,5) 
— a ein Integral der Gleichung Pp + Qg — R = 0, so ist es auch ein Integral 
des Systems 2. 
Sind /(x, y, z) — a und g(x,y, 5) = é zwei Integrale des Systems 2 
so ist das allgemeine Integral der Gleichung 1. 
OA) zo, 
wobei 9 eine willkürliche Function bezeichnet. 
Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, dass der Differentialgleichung 
genügt 
*) 
od oo eo 
9. P = KR += =—0 
óx + Q Oy > 03 0, 
die an die Stelle von 1. tritt, wenn z durch die Gleichung ® = 0 als unent- 
wickelte Function von y und x bestimmt ist. Nun ist 
  
  
  
  
  
od 0D of od og 
óx — Bf x ue go ox’ 
od ob of ob og 
— mm = + = 
ep «Of ep og op? 
eo ó of | 00 De 
$z 77 of "eg on og 2 
folglich hat man 
eo eo od 
ox oy 03 
0o (6 Ó 6f ob (. 0g 09 
EF pl +0 o + R 07 {PA + OS + B=). 
of Ox oy 03 0g ox 220) 0% 
Da nun nach der Voraussetzung die beiden rechts stehenden eingeklammerten 
Polynome verschwinden, so folgt, dass in der That die Gleichung 3. erfüllt ist. 
Wir haben somit folgende Regel: 
dx 
D 
Q 
Um die Gleichung zu integriren 
Ph ei Q2 == A, 
bilde man das System gewóhnlicher Differentialgleichungen 
dy 
da 
sind /(x, y, 2) — a und g(x, y, z) = 6 zwei Integrale dieses Systems, so ist 
$(f g) — 0 
das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung. 
12. Sind Ax, y, 2) =a, g(6 3, 2) — 0, und Zi y, 5 ec particulare 
Integrale von 
Pp + Qg = RR, 
so Ist A eine Function von f und g. 
Nach der Voraussetzung gelten die Gleichungen 
ON 
ox 
P 
Q 
eA 
oy 
   
R 
QA 
02 
J 
    
    
    
  
   
  
  
   
   
   
   
   
  
   
    
   
   
    
    
   
   
      
    
   
   
   
  
  
   
  
  
  
   
   
  
  
   
  
  
  
  
     
daher 
folglic 
I 
der | 
enthal 
1 
A 
bilde 
mit d 
folgt, 
in Ue 
] 
erhält