Integralrechnung. 
dx = (ycosq— zcosß) dt, 
dy = (3cosa — xcosy) dt, 
dz = (xcosB — ycosa) dt. 
Multiplicirt man diese Gleichungen zunächst nacheinander mit x, y, 2, dann 
mit cosa, cosB, cosy, und addirt, so erhält man 
Xdx + ydy + zdzs = 0, cosa - dx + cosP - dy + cosy - da = 0; 
hieraus folgen die beiden Integrale des Systems 
«3 Roy? 4. oz? x €), cost + peosB + acosy — Zs 
Das allgemeine Integral der partialen Differentialgleichung ist daher 
Q(x? + y? + 22, xcosa + ycosB + zcosy) = 0 
14. Um die lineare partiale Differentialgleichung mit mehr als 
drei Variabeln zu integriren 
$9 
ox 0x .. GX 
1. Xia AR ER ue X, 
0x, 0x, 0x, 
bilde man das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 
© 5 e 
2. deide 04,1 14m = NN A 1 X... 
Sind die Integralgleichungen dieses Systems 
Ji AS y) 1, 
3. fae Na) SU, 
Talis N ye E c, 
so 1st das allgemeine Integral der partialen Differentialgleichung 
   
; = 
4. Of: fpf + << 2 fa) = 0. 
Beweis. Durch Differentiation gewinnt man aus 3. 
Of; 0r of, of; 
5. 2 dX. + 5 da + + 7 dx, A 22 dx = 0, 
63, ox, 93, Ox 
{= 1, 2, 2 2. 
Seizt man für Zx,, .., x, dx nach 3. die proportionalen Werthe X, .. X,, 
X ein, so entsteht 
Of; 6f Of; ay. 
6. XQ au o LEX z = 0, 
OX, OX, OXn UX 
Um nun zu sehen, ob 4. die Gleichung 1. integrirt, ziehen wir aus 4. die Werthe 
0x cb odo 
gx, dx’ Sx 
und setzen sie in 1. ein; dadurch entsteht 
oO od 6o 60 
d. x, = ++ xX. a. + .. + Az m X = == 0; 
2% «0x, 0% ox 
soll 1. durch 4. integrirt werden, so muss diese Gleichung identisch sein. Nun 
ist nach 4. 
2 od 0D 2, 06D of, c® of, 
8. ee m Rus uu ELE du. qeu sch. 
0X, fs Oxk Of, OX 0fu Ox 
Setzt man dies in 7. ein, so entsteht 
72 
od Of; Qf; 0f; v 55 
Paz MY. xL d, AUR Xx. xU: D. 
Of; ox, " 0X» ox, ox 
1 
verschwindet, so ist diese Gleichung identisch erfüllt, w. z. b. w. 
Wir wollen die Ausführung eines Beispiels unterlassen; es genüge, darauf 
hinzuweisen, dass jedes integrable System 
Da nun links nach 4. der Klammerinhalt für jeden Werth 7 — 1. 9 3... M 
) ) , 
    
   
   
    
   
  
  
   
     
    
     
   
  
    
   
    
    
   
   
   
    
   
  
  
  
   
   
   
  
   
   
   
   
      
     
    
    
   
    
   
   
  
  
sogleich 
15. 
Die 
Die 
Function 
von x u 
definirt. 
Suct 
A Yr 
9. 
wobei di 
der Vora 
Ausdruck 
integrabe 
3. 
Setz! 
Erse 
2,5, ist 
X y 3 
stellen, c 
kürliche ¢ 
aus 1. 7 
einzusetze 
willkürlic 
Kann ma 
16. 
folgt 
daher ist 
Die 
Dies 
Subs