Analytische Geometrie. 
des Kreises A umbhiillen, die von der Linge « sind. An diesen Kreis hat man 
von C aus Tangenten zu legen. 
25. Den Kreis eines Büschels, der einen gegebenen Kreis A, unter 
rechten Winkeln schneidet, findet man nun leicht durch folgende Construction. 
Von einem beliebigen Punkte der Chordale Z als Centrum aus construire 
man einen Kreis X, der alle Büschelkreise rechtwinkelig schneidet. Hierauf 
construire man die Chordale Z, von Æ und Æ,; der Schnittpunkt von Z, und 
der Büschelcentralen ist das Centrum des gesuchten Kreises, und die von diesem 
Centrum an die Kreise X und X, gelegten Tangenten, die alle vier gleiche Länge 
haben, sind Radien des gesuchten Kreises A,. 
8 9. Transformation der Coordinaten. 
1. Nachdem wir im vorigen Abschnitte eine besondere Curve zweiten Grades, 
den Kreis, untersucht haben, liegt uns nun zunüchst ob, die Eigenschaften der 
Curven zweiten Grades ohne jede Beschrünkung zu untersuchen. 
Eine Gleichung zweiten Grades zwischen den Coordinaten x und y hat im 
allgemeinen Falle drei Glieder von der zweiten Potenz, nämlich mit den 
Coordinatenfaktoren x?, xy, y?; zwei Glieder von der ersten Potenz, nämlich 
Vielfache von x und y; und ein constantes Glied; die allgemeine Form der 
Gleichung einer Curve zweiten Grades ist daher 
f=ax? + 2bxy+cy? + 2dx + 2¢y+f=0. 
Diese Gleichung enthält sechs unveränderliche Zahlen, a, 5, c, d, e, f, die 
man durch Division durch eine derselben auf fünf reduciren kann. Giebt man 
allen oder einigen dieser Zahlen andere Werthe, so ändert sich die Curve f. 
Diese Aenderung kann zweierlei Art sein: entweder ändert sich nur die Lage 
der Curve gegen das Coordinatensystem, oder es dndert sich die Gestalt der Curve. 
Das wesentliche Interesse ist, Eigenschaften einer Curve kennen zu lernen, 
die unabhängig von der zufälligen Lage des Coordinatensystems gegen die Curve 
sind. Wir fragen daher zunächst nach den Aenderungen, die die Coefficienten 
einer Curvengleichung erfahren, wenn man das Coordinatensystem ändert. 
Die Ableitung einer Curvengleichung in Bezug auf ein neues System aus der 
Curvengleichung bezüglich des ursprünglichen Systems wird als die Trans- 
formation der Curvengleichung vom ursprünglichen in das neue System bezeichnet. 
Die Transformation erfolgt in der Weise, dass man die Coordinaten eines 
Punktes, bez. einer Geraden, in Bezug auf das ursprüngliche System durch die 
Coordinaten bezüglich des neuen Systems ausdrückt, diese Werthe — die Trans- 
formationsformeln — in die Curvengleichung einführt und dieselbe schliesslich 
geeignet ordnet. 
Die Coefficienten der transformirten Gleichung setzen sich aus den Coeffr 
cienten der ursprünglichen Gleichung und aus den Gróssen zusammen, durch 
welche die Lage der neuen Coordinatenachsen gegen die ursprünglichen bestimmt 
wird. Durch geschickte Wahl des neuen Systems wird man es daher dahin 
bringen können, dass einige Coefficienten der Gleichung besonders einfache 
Werthe annehmen, und damit die transformirte Curvengleichung selbst eine ein- 
fachere, für weitere Untersuchungen besonders geeignete Gestalt erhält. 
9. Die einfachste Aenderung des Coordinatensystems besteht in einer 
parallelen Verschiebung der Achsen; dabei ändert der Nullpunkt seine 
Lage, während die Achsenrichtungen unverändert bleiben. Eine fernere Aenderung 
      
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
   
  
  
   
   
  
   
  
  
  
  
  
  
   
    
   
    
besteht ir 
Nullpun 
Jede 
leicht sie 
kehrter R 
Wir 
für eine 
Nullpunk 
aufstellen 
8. 3 
Coordir 
Der 
seien die 
die neue 
O Y; ferr 
des Punk 
bezüglich 
Beze 
a, 35 di 
9. X 
Dies 
formeln. 
Ist. 
Curve in 
erhält m: 
Systems 
tion / (v 
x + au 
4. 
eine Dr 
Hat 
den Nu 
JXOX = 
kanntlick 
im neuer 
Erse 
xim 0$ 
yuzTÓm 
Nun 
also hat 
Ist 
für das € 
dieser C