man diesen
ngen hervor
8 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung.
Das allgemeine Integral besteht aus den beiden Gleichungen
Z£ — ax + (y -- a) e(a),
$c e Fr ev,
worin © willkürlich ist.
Für ein singuläres Integral hat man die Gleichungen
mcd. yuwg.u V0
werden die hieraus folgenden Werthe von a und 6 in das vollständige Integral
eingesetzt, so erhält man das singuläre Integral
gU,
das, wie man sich leicht überzeugt, der gegebenen Differentialgleichung genügt.
Das singuläre Integral stellt ein hyperbolisches Paraboloid dar; das voll-
stindige für bestimmte Werthe von « und 2 eine Tangentenebene dieser Fläche;
das allgemeine irgend eine abwickelbare Flüche, die der singulüren Lósung um-
geschrieben ist, deren Tangentenebenen also eine Auswahl aus den dem voll-
ständigen Integrale entspringenden bilden.
17. Die Integration einer nicht linearen Differentialgleichung mit drei
Variabeln kann auch mit der Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung
von der Form
1, Pdx + Qdy + Rdz + Sdp = 0
in Zusammenhang gebracht werden.
Der gegebenen Differentialgleichung entnimmt man den Werth von ¢ und
substituirt ihn in
2. dz = pdx + gdy.
Die Gleichung 2. geht hierdurch in eine Gleichung .von der Form 1. über.
Man integrirt dieselbe durch zwei Gleichungen, die eine willkürliche Function
enthalten und eliminirt dann # aus diesen Gleichungen.
Beispiel. Die Differentialgleichung
44 — 38 0
giebt pdx + zdy — pdz = 0.
Daher ist, wenn man in $ 26, No. 8 # durch 5 ersetzt,
P= p%, Qr, B5 S 0,
Pr= 0, 0. =0, Az, So= 1,
Py, Q, = 0, Ay — 0, Sy = 0,
P0, Q. = |, AK, S. 0,
D cm 95, Qo 0, KA, om —1, $5; 0.
Hieraus ergiebt sich
Q2, D = ht, À le, € == pl.
Das System simultaner Gleichungen $ 26, No. 8, 2 ist daher
dx dy Z dp
; cg 7a p
Die Integralgleichungen hierzu sind
= apt, xm ap Ab, y fd
Aus denselben folgt
qz 0, B.==p2 0 v2 0p,
Unterdrückt man den Faktor ??, so erhált man daher fiir a, 4, ¢ die Differential-
gleichung (S8 26, No. 9, 10)
c
^
db + ade = 0.
Diese wird durch das System integrirt
b + ac = (a),
cc == 9 (a).
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. IIL 57
