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SPX] Ape 
sp x) Dan 
spx|, 
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px) by, 
1p x), 
che Lösung 
0s(n—1)g®, 
n(n — 1)g®, 
n(n — 1)g@. 
cos (a + 8), 
8 2. Beobachtungsfehler. 907 
so ist, wenn die ganzen Zahlen ? und 4 nicht gleich sind, 1 — z von Null ver- 
Schieden und z^ — 1; daher ist | 
1 + 23 + 23? +... + gr} = 0. 
Die Sonderung des Realen und Imaginären giebt 
"—1 n—1 
3. D cosh (p gio =10, D sink(p + g)e =10. 
0 1 
Für den Fall p = ¢ erhält man aus 2. unter Rücksicht auf 3. 
4. cos? px) = da,  sm?px| — im. 
Mit Hülfe von 2., 3., 4. ergeben die Gleichungen 1. die Auflósungen 
1 
2 2 
qm [y], A yeas fn), De = T [y sin &x].*) 
n n 
6. Die Methode der kleinsten Quadrate (Quadratsummen), die wir in 
den Abschnitten No. 2 bis 5 angewandt haben, lässt sich auch in den Fällen 
No. ] verwenden. Wird zu den gegebenen Zahlen a,, a, . .. a, eine Zahl p. so 
bestimmt, dass 
AZ + AZ + . . + AZ, = Minimum, 
À, mm M — a,, 
so folgt zur Bestimmung von y. die Gleichung 
ier e eene (ono. e aa) em D, 
aus welcher man erhält 
1 
Le 5 (a, + ay + a3 +... + An). 
$ 2. Beobachtungsfehler. 
I. Bei keiner Messung kann man mit Sicherheit behaupten, dass das durch 
sie gewonnene Resultat vollkommen genau sei. Auch das sorgfältigst gearbeitete 
Instrument hat Fehler; auch der vortrefflichste Beobachter, dessen Sinne und 
Urtheil auf's Beste beanlagt und geschult sind, gelangt an Grenzen, an welchen 
sein Urtheil anfángt, unsicher zu werden. 
Die Fehler einer Messung theilt man ein in constante und in zufällige 
Fehler. Unter constanten Fehlern versteht man Fehler, die durch solche Ab- 
weichungen vom idealen Baue des Instruments herrühren, welche wáhrend einer 
hinlünglich grossen Zeit sich nicht merklich ändern, sowie die von der Individuali- 
tät des Beobachters abhängigen Fehler, sofern sie sich immer in einem bestimmten 
Sinne geltend machen. Alle übrigen Fehler, die von den wechselnden äusseren 
Umständen (Handhabung, gegenseitiger Lage der Theile des Instruments, Tem- 
peratur der Luft, Bestrahlung durch die Sonne u. s. w.) in einer Weise abhängen, 
dass sich die Bestimmung ihres Einflusses der Beurtheilung entzieht, werden als 
zufällige bezeichnet. 
Die constanten Instrumentfehler, sowie die constanten Fehler des Beobachters 
müssen zunächst möglichst scharf bestimmt werden; dies erfolgt durch Messungen, 
die genaue Prüfungen der Resultate zulassen; diese Messungen werden unter 
möglichst günstigen Umständen und mit der grössten Sorgfalt ausgeführt, so dass 
man sicher sein kann, dass dabei die zufälligen Fehler auf ein Minimum herab- 
*) Weitere Ausführungen, auch in Bezug auf Curven von gegebenem Charakter, die zwischen 
gegebenen Abscissen einer gegebenen Curve möglichst nahe liegen, sowie historische und kritische 
Bemerkungen über die verschiedenen Methoden, die Ausgleichungsrechnung zu begründen, findet 
man bei HENKE, Die Methode der kleinsten Quadrate. Inauguraldissertation. Leigzig 1868.