Analytische Geometrie. 
5. Transformationsformeln für eine beliebige. Veränderung des 
Coordinatensystems. 
Der Nullpunkt des neuen Systems sei O, und habe die Coordinaten O.4 — a 
und OB = b; ferner sei O, X' die positive Seite der neuen X-Achse; ist Y' Y" 
normal zu OX', so ist entweder O, Y' oder O, Y'' die positive Hälfte der neuen 
Y y Y Y-Achse. Wir kónnen das Coordinatensystem 
\ XO Y zunächst unter Beibehaltung der Achsen- 
richtungen verschieben, bis der Ursprung nach 
\ , O, kommt und die Coordinatenachsen mit den 
\ À mu OX und OY parallelen Geraden O,& und 
06 O,Y zusammenfallen. Drehen wir hierauf das 
Coordinatensystem um den Punkt O,, bis die 
at positive Hälfte der Abscissenachse mit der posi- 
  
err 0, 
  
  
7 4 X tiven Hälfte der neuen Abscissenachse zusammen- 
fällt, so falle dabei (wie in der Figur angedeutet) 
y" die positive Seite der Ordinatenachse auf O, Y". 
(M. 395.) Ist nun O, Y' die positive Hilfte der neuen 
Ordinatenachse, so ist also durch die erste Ver- 
schiebung und die nachfolgende Drehung das ursprüngliche System in das neue 
übergeführt. Ist aber O, Y" die positive Hálfte des neuen Systems, so kann man 
das ursprüngliche nicht durch Verschiebung und Drehung in das neue überführen; 
man muss vielmehr schliesslich das System noch im Raume um die Gerade 
O, X' um einen gestreckten Winkel drehen, um die positive Hälfte der Ordi- 
natenachse in die neue Lage zu bringen. 
Wir wollen das ursprüngliche uad das neue System im ersten Falle gleich- 
sinnig, im letzteren ungleichsinnig nennen. 
Sind x, y, E, n, x', y' die Coordinaten eines Punktes in Bezug auf die Systeme 
XOY, EO,Y und in Bezug auf das mit denselben gleichsinnige System X'OY), 
so hat man nach No. 3. und 4.: 
1. Am ea, VEN I, 
2. E = cosw-x'—sino-y, n= sino x -- cose yl. 
Hieraus folgen die Transformationsformelnfürgleichsinnige Systeme: 
X = cose * X! — sin oy -- a 
y — sine x' -- cos o y' 4- 0. 
Die Coordinaten eines Punktes in den Systemen X'O, Y' und X'O,Y" 
unterscheiden sich nur durch Vorzeichenwechsel der Ordinate; sind x', y' die 
Coordinaten von P in dem System, welches O,X' und OY" zu positiven Achsen- 
hälften hat, so hat man daher für ungleichsinnige Systeme: 
x = cosow-x + sinw-y + a 
4. ; ; e ' 7 
y=Snmow-xX' —cosow:y +0. 
6. Wir wenden uns nun zu den Transformationsformeln der Linien- 
coordinaten, und zwar zunichst fiir eine Verschiebung des Coordinaten- 
systems. 
Sind z, v die Coordinaten einer Geraden 7'im ursprünglichen Systeme, so 
ist die Gleichung von 7 in diesem Systeme: 
l. ux + vy— 1= 0. 
Um die Gleichung im neuen Systeme X'O,Y' zu erhalten, setze man in 1. 
(No. 3) x=x+a y=y +8 
      
  
  
  
  
  
   
  
  
   
   
  
   
  
  
   
   
  
  
  
  
   
  
   
  
  
  
   
   
  
    
    
   
  
  
  
  
  
  
    
  
   
   
  
   
  
  
   
    
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2. 
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Systeme; 
1. 
Diese 
zu finden. 
Gleichung 
cos w, und 
2. 
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Systeme. 
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zu ihnen 
1. 
2. 
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Formeln f 
SCHLOEMII