inderung des 
inaten O4 = a 
hse: ist Y' y^" 
ifte der neuen 
ordinatensystem 
ng der Achsen- 
Ursprung nach 
achsen mit den 
iden O,& und 
wir hierauf das 
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chse zusammen- 
gur angedeutet) 
chse auf O4 Y". 
lfte der neuen 
| die erste Ver- 
'm in das neue 
$, so kann man 
eue überführen; 
ım die Gerade 
älfte der Ordi- 
ı Falle gleich- 
‚uf die Systeme 
System X'OY', 
! 
y, 
nige Systeme: 
und X'O, Y! 
=. A ! : 
sind x', y' die 
ysitiven Achsen- 
n der Linien- 
Coordinaten- 
en Systeme, SO 
setze man in 1. 
§ 9. "Transformation der Coordinaten. 81 
Man erhält dann #(x' + a) + v(y'4- /) —1- 0, oder geordnet 
2. ux 4- vy — (1— au — bo) = 0. 
Sind nun ', v' die Coordinaten von Z'im neuen Systeme, so folgt aus 2. 
; u : U 
3 a LT i-—as- 52 
Diese Formeln lehren die Coordinaten von 7'im neuen System aus denen 
im ursprünglichen zu berechnen. Aus denselben folgt 
#“(1—au—dv)=u, wv(1—aw—bv)—»v. 
Berechnet man hieraus z und v, so erhált man die Transformationsformeln 
u' 7 
La eT aii 
7. Transformationsformein der Liniencoordinaten für eine Dre- 
hung des Systems um den Ursprung. 
U“ 
Ist 4x -- v y — 1 — 0 die Gleichung der Geraden im Systeme XOY, so erhält 
man ihre Gleichung im Systeme X'O,Y', indem man für x und y die Werthe 
einsetzt (No. 4) x = cosw.x'—sinw-y', y= sinw-x'+coso-y': 
uw (cos w + x' — sin œ - y") + 9 (sin 0 - x' + coso -y) —1=0, 
oder (cos w + 14 + Sin w + U)X' + (sin w + u + cos w -0)y'—1 = 0. 
Die Faktoren von x' und y' sind die Coordinaten der Geraden im neuen 
Systeme; also hat man die Formeln 
I 
1 U = C08S$wW- UF Sinw-D, 
; UV zz -— SH 0 * 4 + COS à + D. 
Dieselben lehren z' und ?' aus den Coordinaten des ursprünglichen Systems 
zu finden. Um # und v durch z' und v' auszudrücken, multipliciren wir die 
Gleichungen 1. erst der Reihe nach mit cos e und (— sz «), dann mit siz « und 
cos 9, und addiren jedesmal. Wir erhalten dann die gesuchten Formeln: 
U = COS W - 4! — sin « - v, 
% = NO: U + cosw-v. 
8. Transformationsformeln der Liniencoordinaten für beliebige 
Systeme. 
Sind z, v, u, v, #',0' die Coordinaten von 7' im Systeme XOY, ZO,Y und dem 
zu ihnen gleichsinnigen X'OY', so ist nach No. 6. und 7.: 
¥ W=cosw-u — sino, Yo sino-u -4-cso-v; 
u D 
9. # == Pin v= 
I+ au + he 1 + au + dv 
Setzt man nun in 2. für & und » die Werthe aus 1., so erhilt man die 
Formeln für gleichsinnige Systeme: 
  
OS® ot — sin wm - 7 
uU =— i ; ; 
3 1 + (a cos w + D sin w) 4! — (a sin e — b cos w) v 
: Sin à - #' + cos 9 - 7/ 
Y= 
  
1 + (@ cos w + b sin w) #' — (a sin e — beos o) v' 
Für ungleichsinnige Systeme erhált man die Formeln, wenn man in den 
Formeln für gleichsinnige das Zeichen von v' wechselt: 
cos © < 4' + sin œ - v' 
4. I. (a cos w + Ö sin w) #' + (a sin w — bcos w) 2’ 
SIN w < U' — COS w * V' 
1 + (a cos w + b sin w) #' 4- (a sin e — b cos e) v'' 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik, Bd, II, 6 
  
7) =