84 Analytische Geometrie. 
13. Wir entwickeln nun noch die Gleichungen der Ellipse und der Hy- 
perbel in Bezug auf ein Coordinatensystem, auf dessen Achsen conjugirte Dia- 
meter liegen. Ist mE? + zn? — 1 = 0 die Gleichung der einen und der andern 
Curve in Bezug auf die Symmetrieachsen, und sind x, y die Coordinaten eines 
Punktes für das schiefwinkelige System, so hat man in ze£? + un? —1= 0 die 
Werthe für & « einzusetzen, die man aus den Formeln No. 10, 3. erhált, wenn 
>» 
») 
man darin x, y, x', y' gegen & », x, y vertauscht. Wie man sieht, erhält man 
eine Gleichung von der Form: 
I. Mx? -- 9Nxy-- Py?—129. 
Von dieser Form also ist die Gleichung einer Ellipse oder Hyperbel in 
Bezug auf ein beliebiges schiefwinkeliges Coordinatensystem, das den Mittelpunkt 
der Curve zum Nullpunkte hat. 
Eine Gerade 7, die der X-Achse parallel ist und von der Y-Achse die 
Strecke O J — 8 abschneidet, hat die Gleichung y = D. 
Setzt man diesen Werth in 1. ein, so erbált man 
9. x2 + 9.V8x -- P9? —1-—0, 
also eine gemischt quadratische Gleichung in x, deren beide Wurzeln die Strecken 
(M. 399.) 
setzt OA, — a,, OB, = b6,, so sind 
die Coordinaten von 4,: 
Ju 
)) 3) 2 
BC und BC' sind, welche die Curve 
von der Geraden 7' abschneidet. 
Sind nun die Richtungen der 
Achsen conjugirt, so sind die Strecken 
BC und BC' fiir jeden Werth von 3 
entgegengesetzt gleich, die Gleichung 
9. also ist rein quadratisch. Dies trifft 
nur dann ein, wenn N = 0. 
Die Gleichung einer Ellipse oder 
Hyperbel in Bezug auf conjugirte Dia- 
meter als Achsen lautet also: 
3. Mx? + Py? — 1 =0. 
Bezeichnet man mit À, und A, 
die Schnittpunkte der Ellipse mit 
der positiven X- und Y-Achse, und 
x =a, y=—0 
x=0#y=. 
Setzt man diese Werthe in die Gleichung 3. ein, so erhält man 
Ma? —1=0, 
PoE —1=0, 
3 
ao M= 1742, 
P=1:62. 
Daher ist die Gleichung der Ellipse fiir zwei conjugirte Diameter: 
9 
e ^ 
ay 
Bei der Hyperbel fragen wir zunächst nach den Asymptoten. 
die Gleichung 3. durch x?, so entsteht 
1 947 1 
M + FP P — — 0. 
X x^ 
Setzen wir x — co, so verschwindet das letzte Glied und man erhält 
a 
x P 
Die unendlich fernen Punkte der 
Geraden, deren Gleichungen sind 
Curve 3. liegen also auf den beiden 
Dividiren wir 
      
  
  
  
    
    
   
   
   
   
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
   
   
    
   
   
    
   
   
   
   
   
  
  
  
  
    
  
   
    
Diese 
—M:P= 
gegen hat 
positiv; fol 
zeichnung 
ist, Setzen 
so erhält d 
Die X 
welche y — 
geschnitten, 
Die A: 
sie schneid 
die Strecke 
14. Di 
kann in fo 
und ist P 
1. 
wenn mit 
Winkel de: 
und mit f 
Winkel € 
$,9.X 
werden. 
Nun is 
SPD: 7" P. 
PS PP: 
also, wenn 
tür P'Pun 
Sof 
sin? Qa 
= sing sin 
Setzt 
1. ein, so € 
  
a LIT 
J S 
oder, da 
sin 35 — : 
2. 
Für d 
4 sin? uy = i 
Coordinate: