und der Hy- 
conjugirte Dia- 
ind der andern 
ordinaten eines 
?—1=0 die 
3. erhält, wenn 
eht, erhält man 
er Hyperbel in 
den Mittelpunkt 
er Y-Achse die 
eln die Strecken 
elche die Curve 
bschneidet. 
Richtungen der 
ind die Strecken 
en Werth von f 
, die Gleichung 
tisch. Dies trifft 
M em. 
ner Ellipse oder 
f conjugirte Dia- 
let also: 
—1=0. 
mit 4, und A, 
er Ellipse mit 
| Y-Achse, und 
man 
irte Diameter: 
1 Dividiren wir 
man erhält 
auf den beiden 
  
Transformation der Coordinaten. 
8 9. 
X47 V 2. V 
Xr 4 x 
Diese Geraden sind die Asymptoten der Curve. Fir die Ellipse ist 
_M:P= —a?:b2, die Asymptoten sind also imaginär. Die Hyperbel hin- 
gegen hat reale Asymptoten, also ist fiir die Hyperbel der Quotient — M: P 
positiv; folglich haben M und P ungleiche Zeichen. Man kann nun die Be- 
zeichnung der Coordinatenachsen immer so wählen, dass M positiv, P negativ 
ist. Setzen wir zur Verdeutlichung dessen: 
vA 
so erhält die Hyperbel die Gleichung 
a y? 
aic 
Die X-Achse wird von der Hyperbel in den realen Punkten geschnitten, für 
welche y — 0 und daher x = == «ist. Die Y-Achse wird in imaginären Punkten 
geschnitten, deren Ordinaren y — zi: 9 y — 1 sind. 
Die Asymptoten haben die Gleichungen 
+ — == by 
x 43 
sie schneiden daher von den Hyperbeltangenten, die parallel der Y-Achse sind, 
die Strecken + à, ab (vom Tangentialpunkte aus gerechnet). 
14. Die Gleichung einer Hyperbel in Bezug auf ihre Asymptoten 
kann in folgender Weise erhalten werden. Sind OX und OY die Asymptoten 
und ist 2 ein Hyperbelpunkt, so ist bekanntlich ($ 3, 6) 
2 
L CS PPS ES 
  
Ene Di 
sin sm 
wenn mit o der halbe 
Winkel der Asymptoten Y 
und mit 8 und y die // 
Winkel 0S,S; und 5 
S,S,X bezeichnet 
werden. S, = 
Nun ist ÁN p ^ 
SPP" Pu gina: sin, % ^N ut 
DSi P P zm sina: sim, y f e e 
also, wenn man x und y f: i c d 
für P'Pund P"P setzt: —— m MET Y 
S D. PS. Em ~. wd 
sin? 9a NE 
XxX). S A / 
Setzt man dies in i | 
l. ein, so erhält man 7 / / 
cos? a. : 
ETE / 
oder, da £j 
sini 90 — 4 costa sinia: (M. 400.) 
"E 
^ Asin?! 
Für die gleichseitige Hyperbel hat man 2 — a, « — 45^, daher 
4 sino = | und die Gleichung in Bezug auf das in diesem Falle orthogonale 
Coordinatensystem der beiden Asymptoten wird daher xy — % a2. 
  
’ 
  
  
sinB siny 
  
2. Xy