86 Analytische Geometrie. 
8 10. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in 
Liniencoordinaten. 
1. Unter einer Curve zter Ordnung versteht man eine Curve, deren Gleichung 
in Punktcoordinaten vom zten Grade ist; unter einer Curve zter Klasse 
versteht man eine Curve, deren Gleichung in Liniencoordinaten vom zten 
Grade ist. 
Die Linie erster Ordnung ist die Gerade; das Gebilde erster Klasse ist der Punkt. 
2. Die allgemeinste Gleichung einer Curve zweiter Ordnung ist: 
1. ax? + 20xy + cy? + 2dx + 2¢y + f= 0; 
Die allgemeinste Gleichung einer Curve zweiter Klasse: 
au? + 2Buv + (v2 + 200 + 2¢v + x= 0. 
Wir werden nun die Gleichungen zu anderen Coordinatensystemen trans- 
formiren, und dann die neuen Systeme so wählen, dass die transformirten 
Gleichungen sich móglichst vereinfachen; wir beginnen mit der Transformation 
der Gleichung in Punktcoordinaten. 
3. Verschiebt man die Coordinatenachsen, ohne ihre Richtung zu 
ündern, so dass der neue Ursprung die Coordinaten p, v hat, so gelten die Trans- 
formationsformeln (8 9, No. 3) 
X ux dw, yvy 
aus Ihnen folgt: x2 = x'2 + 2px’ + p?, 
y= y2 4 vy + vB, 
xy = x'y'+ va' + py + pv. 
Setzt man diese Werthe in die Gleichung 
1, ax? + 25xy + cy? + 2dx + 2¢y + f=0, 
und ordnet, so erhält man 
2. ax'? + 26x'y' + cy'? + 2(ap + 5y + d) x' + (Ou + cy + e)y! + ap? + 2öpy 
-- cs? -- 9d» -- 2ev -- f. — 0. 
Dies zeigt: Bei einer Verschiebung der Coordinatenachsen werden 
die Coefficienten der drei quadratischen Glieder einer Gleichung 
zweiten Grades in Punktcoordinaten nicht geándert. 
Man überzeugt sich leicht, dass eine ähnliche Bemerkung auch für alle 
xeichungen höheren Grades gilt. 
4. Wir wollen nun das neue Coordinatensystem so wählen, dass die Coeffi- 
cienten im vierten und fünften Gliede der transformirten Gleichung verschwinden. 
Dies erfolgt, wenn 
N 
| 
  
  
1 ap + bv = — d, 
^ bp. + cv = — €. 
Multiplicirt man daher die erste Gleichung mit — ¢, die zweite mit 2; dann 
die erste mit à, die andere mit — « und addirt jedesmal die beiden multiplicirten 
Gleichungen, so erhält man die Lösungen 
: cd — be ae — dd 
2. p.m —M 7 mm pa, 
0? — ac 52 — ac 
5. Der Punkt, der diese Gróssen p. und v zu Coordinaten hat, ist zum Null- 
punkte eines neuen Coordinatensystems untauglich, wenn er unendlich fern ist. 
Dies tritt dann ein, wenn 
9. 02 — qe 20, 
ohne dass gleichzeitig die Záhler von j und v verschwinden. 
    
    
     
  
  
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
   
   
   
   
   
   
   
  
   
  
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
   
  
  
    
  
   
  
   
     
$10. ' 
6. W 
zugleich « 
Aus 
linken un 
Ist n 
also folgt 
Ist. 7 
Falle ist 
unbestimr 
7. W 
noch vorl 
aufhôrt v 
a) Is 
Wir 
wofür ges 
1. 
Vers 
— d:a u 
Setze 
Hier 
ist die € 
dinaten 
achse p 
oder ne; 
oder gl 
b) I: 
Man 
Vers 
die Coor 
4. 
Die 
einer P: 
hat, un« 
der Abs 
ungleic 
8. S8