44 Begriff einer Zahl, die grösser oder kleiner als eine andre ist. [§ 50 
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Denn 
. , o —J- x — o 
', x -j- o = o 
(* 
Die Zahlen a und a müssen in (J) zwei bestimmte Stellen einnehmen 
(Def. I, § 20) und a muss a vorangehen (f; c, § 46). Die Zahl a erhält man 
aus a , indem man mit dieser letzteren Zahl andre Einheiten vereinigt, das 
heisst, die Einheiten einer andern Zahl (V, § 46 und g, § 39). Es kann keine 
zwei Zahlen x und x' {x ^ x) geben, welche diese Eigenschaft besitzen, 
es muss 
O —f- X ==: O. 
sein, oder auch: 
. X +~ O = Ui, <A1 ~T~ Ul w 
und es ist daher 
x = x . (a) 
Bern. Wenn wir die Summe a + b mit c bezeichnen, so ist 
(1) <* + &== c, 
worin c eine gegebene Zahl der Reihe (J) ist. Die Gleichung (1) lässt sich von zwei Gesichts 
punkten betrachten: entweder wird c benutzt, um die neue Zahl a -f & zu bezeichnen, was 
bisher noch nicht geschehen ist, wie wir z. B. mit dem Zeichen 2 die Summe 1 -j- 1 , mit 
3 die Summe 1 -f- 1 -f- 1 u. s. w. bezeichnet haben; oder c ist eine schon bekannte als 
Symbol einer andern Operation, z. B. einer andern Summe a’ -\- b’ benutzte Zahl und als 
dann muss man die Richtigkeit der Gleichung (1) beweisen. 
Beisp. In der Gleichung 
11 -f 1 == 12 
bezeichnet 12 die aus der Addition von 1 zur Zahl 11 sich ergebende Zahl und 'dabei ist 
nichts zu beweisen. Dagegen ist es nöthig, zu beweisen, dass die Gleichung 
7 -f 5 = 12 
besteht, die eine unter den Zahlen 7, 5 und 12 bestehende Eigenschaft angibt. Zu dem 
Zweck genügt es die drei Zahlen in ihre Einheiten zu zerlegen und zu bedenken, dass die 
Einheiten der Zahl 11 -f-1 eine nach der andern denen der Zahl 7 -f- 5 entsprechen (i, § 48). 
Denn (A) = ABCDEFG sei die der Zahl 7 und (A') = A' B’ C’ D' E’ die der Zahl 5 
entsprechende Gruppe. Das erste Element von (A r ) mit (A) vereinigt, gibt die der Zahl 
7 + 1 = 8 
entsprechende Gruppe. 
Yon (A') bleibt eine Gruppe (A”) ~ B’ C' D' E’ übrig, die aus den von (A') übrig 
bleibenden Elementen gebildet ist. Das erste Element von {A”) mit der Gruppe (A) ver 
einigt, liefert die Zahl 
8 + 1 = 9. 
Die von der Gruppe (A") übrig bleibenden Elemente bilden eine Gruppe 
(A'") = C'D'E', 
deren erstes Element C' mit der Gruppe 
((A)A')B' = (A)(A'B') (a, §40) 
vereinigt, die Zahl 
gibt: 
9 + 1 
10 
Vereinigt man dann das vorletzte Element D' von (J+ mit der Gruppe (+)(A' B’ C'), 
so erhält man die Zahl 10 + 1 = 11. Indem man endlich das letzte Element E’ von (A'j 
mit der Gruppe (A)(A'B' CD') vereinigt, erhält man die Zahl 
11 + 1 = 12 , 
die der Gruppe [(++!')] = ABCDEFGA'B' C'D'E’ entspricht, und diese Gruppe stellt 
auch die Zahl 7 + 5 dar (Bein. I, e, § 47). Es ist daher 
12 = 7 + 5 . 
Der Beweis dieses Satzes für beliebige gegebene Zahlen von (T) beruht offenbar auf 
der Regel, welche man bei der Bezeichnung der Zahlen oder der Numerirung befolgt. 
Von den hierzu erfundenen Systemen ist das Decimalsystem das üblichste.