lie 
ne 
2 
| 0, 
Ab- 
$35 
und 
8. Gleichungen dritten und vierten Grades. 103 
Werthe von x. Zufolge der Bedingung 84727 — — 4 verringert sich jedoch diese 
Zahl auf vier, wie folgende Untersuchung zeigt: 
Die drei Wurzeln z,, z4, z4, der Gleichung (3) sind entweder simmtlich reell, 
oder eine ist reell und die beiden andern sind imaginär. Die letzteren haben 
dann die Formen 
29, =E+ny—1, 5, —E—ny—1, 
und ihr Produkt 2, 2, = € + n° ist stets positiv. Da nun 2, 2523 — g? immer 
positiv sein muss, so folgt, dass unter allen Umständen eine der Wurzeln der 
Gleichung (3) reell und positiv ist. Als diese letztere Wurzel môge die mit z, 
bezeichnete angenommen werden. 
Sind nun alle drei Wurzeln reell, so sind z, und z4 entweder beide positiv, oder 
beide negativ. Die Betrachtung der hiernach möglichen Fälle ergiebt nun Folgendes: 
a) Sind z, und z, positiv, so folgt aus 8427: — — 4, dass für positives 4 
unter den Gróssen z, v, z» entweder zwei positiv und eine negativ, oder dass 
ale drei negativ sein müssen, und dass daher nur die vier Combinationen 
= 44 Va Va Ve 
x, =4{+ y21— Y22-- V23) | 52770, 23 >0 
x, = #{— Y231-- V 22 - Y*9) g>0 
(— Y51— V 3a— Y23) 
statthaft sind. Ist dagegen 4 negativ, so hat das Produkt zv:w entweder einen 
positiven und zwei negative oder drei positive Faktoren, und man erhält: 
nC yx ym ys) 
= 434 Va Var Va) | 22>0, 28>0 
VEN VAT qo 
B= yn- Ys y 
b) Sind za und zs negativ, so kann man 
GA AMET eei m ui 
setzen, und es wird dann 
S u0T zc yz t i dy se y t t (— 1). 
Es erhält also dieses Produkt das entgegengesetzte Vorzeichen, wie vorhin, 
und man hat daher für positives 7 die Formeln (5), für negatives die Formeln (4) 
zu nehmen; es gelten also (4) auch für 
Z4«:0,24 «0,4 « 0, und (5) für 33 < 0, 53 < 0,7 7 0. 
c) Sind endlich z, und z, imaginür, so hat man 
Suomecyut--sy-—lkG-—mny-—i)-—-ynt 8. 
und hiernach besitzt das Produkt 84zv2 dasselbe Vorzeichen, als wenn z, und 
il 
© 
| 
(4) 
| 
v 
Mj tj au jj 
| 
xy 
  
(5) 
  
z, positiv wären; es gelten also in diesem Falle dieselben Formeln, wie unter a). 
9. Aus der vorstehenden Untersuchung geht noch hervor, dass alle vier 
Wurzeln der biquadratischen Gleichung reell sind, wenn die Wurzeln der kubi- 
schen Hülfsgleichung (3) sämmtlich reell sind. Sind dagegen z, und z, nega- 
tiv, also im obigen Falle b), so erhált man, wenn 2$ — Z3 ist, zwel einander 
gleiche reelle und zwei imagináre Wurzeln, anderenfalls sind alle vier Wurzeln 
imaginür. Sind endlich z, und 75, wie im Falle c), imaginár, so kann man, da 
nach 8 42 
(ax pi)? — (a À hi) (6 = bi) = a? — b? H 2abz ist, 
wenn man a? — à? = Ë, 2ab = n setzt und diese Gleichungen auf @ und à auflôst,