104 Arithmetik und Algebra. 
Vt pr pe Rye y 
setzen, und die Anwendung dieser Umformung auf die betreffenden Auflósungs- 
formeln ergiebt in diesem Falie zwei reelle und zwei imagináre Wurzeln. 
Es sei beispielsweise die Gleichung 
x* — 71x? — 12x 4-18 —0 
aufzulósen, so ist ? — — T qg = — 12, 7 = + 18, also die Hülfsgleichung: 
3 — 142? — 233 — 144 — 0. 
Die Sra der tentée ergiebt 
Q0106 2,2 —1-- y—8, 5,2 —1—y—8. 
Da hier £ — — 1, 4 — y/8 ist, so ergeben die vorstehenden Formeln 
yn — 1 Y-& V -1—Y— 
und da 4 negativ ist, so sind weiterhin die Formeln (5) anzuwenden, und man 
erhàlt 
  
a=43+4+1+V— 3 +1— V-— 2) = 3 
3x, 4(4-4—1— y —3—14- y—2) 2-1 
x44(—4--12-y —2—1-- y—23) — —2-- y—2 
x,—4(—4—1—y—2--1—y—2)2—23— y—. 
3. Die im Vorstehenden entwickelte Methode der Auflósung biquadratischer 
Gleichungen heisst die EurER'sche oder CamrEsimUs'sche. Man hat ausserdem 
noch verschiedene andere Methoden entwickelt, unter denen die von AMPERE 
besonders bemerkenswerth ist. Man kann die Schluss-Formeln derselben aus den 
obigen EuLER'schen ableiten, indem man z, und z, durch z, ausdrückt, wobei 
z, wieder die positive Wurzel der Hülfsgleichung bezeichnen soll  Lóst man 
nämlich die im Vorhergehenden abgeleiteten Gleichungen 
8 25 = —95— 2, 
——— 2 
= Vz, £3 = p 
wobei Vz, im absoluten Sinn und demnach links das Zeichen + oder — 
gewählt werden soll, je nachdem g positiv oder negativ ist, auf yz, und yz, auf, 
so erhält man bei positivem g 
y z24- V2 -y-3;—a à 
ix 
à Es = CEU NE a 
y 22 y $97 y -»-2-; 20-23 VE 
dagegen bei negativem 4 
  
9 
Vis + V 23 = VA 
Va pe y -3»-2-3t dcn, +22 
Setzt man das erste dieser Paare von Werthen in die Formelgruppe (4), das 
zweite in (5) ein, so werden beide Gruppen identisch. Man gewinnt also den 
Vortheil, dass die Unterscheidung positiver und negativer ¢ nicht mehr néthig 
ist, und dass man nur die eine positive Wurzel der Hiilfsgleichung zu berechnen 
braucht, und hat so fiir alle Fille, wenn man noch der Abkürzung halber 
Vz, =p setzt, die Formeln: 
       
   
   
   
  
  
  
  
   
  
  
   
   
  
   
  
  
   
   
  
    
    
   
  
  
  
     
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