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Anh. 3. Proportionen. 
  
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Für das obige Beispiel hat man hiernach, da y — 4 war, 
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Der Versuch, Gleichungen von hôheren Graden als dem vierten all- 
gemein aufzulôsen, führt auf Hülfsgleichungen, welche schwieriger als die ursprüng- 
liche sind, und es ist von verschiedenen Seiten bewiesen worden, dass es über- 
haupt unmöglich ist, für solche Gleichungen allgemeine algebraische Auflösungs- 
Formeln aufzustellen. In Betreff dieser Beweise selbst muss hier auf die ein- 
gehenderen Werke über die Lehre von den Gleichungen verwiesen werden. 
Dieselben gelten jedoch, wie bemerkt, nur für die allgemeinen Gleichungen, 
d. h. für den Fall, dass für die — in Buchstaben angegebenen — Coefficienten 
keine besonderen Annahmen oder Bestimmungen gemacht sind, und dass die- 
selben also auch von einander in keiner Weise abhängen. Dagegen kann die 
Auflösung auch höherer Gleichungen in speciellen Fällen wol gelingen. Die 
Behandlung solcher Fälle und namentlich die Auflösung numerischer Gleichungen 
hóherer Grade wird jedoch zweckmüssig an einer späteren Stelle gelehrt werden. 
Anhang 3. 
Die Proportionen. 
Hers § 31, 32. 
8 55. Begriff und einfachste Umformungen der Proportionen. 
1. Eine besondere Art von Gleichungen, welche in den Anwendungen be- 
sonders häufig vorkommen, sind die Verhältniss-Gleichungen oder Proportionen. 
Unter einem Verhältniss versteht man nach $ 8 den Quotienten zweier gleich- 
artiger Grôssen. Diese letzteren heissen die Glieder des Verhältnisses (Vorder- 
glied und Hinterglied). Da für einen Quotienten die allgemeinen Gesetze der Divi- 
sion gelten, so folgt, dass der Werth eines Verhältnisses (von Manchen auch der 
Exponent desselben genannt) sich nicht ändert, wenn beide Glieder mit derselben 
unbenannten Zahl multiplicirt oder durch dieselbe dividirt werden. Zu jedem 
gegebenen Verhältniss lassen sich hiernach unendlich viele ihm gleiche Verhält- 
nisse bilden. Jedes Verhältniss rationaler Zahlen lässt sich durch ein gleiches 
Verhältniss ganzer Zahlen darstellen, welche relative Primzahlen sind. 
Eine Proportion ist eine Gleichung zwischen zwei Verhältnissen. 
So sind z. B. 
15#:3# == 10%: 2m; Ben: dem = 6 Mark; 3 Mark; 
9.:7.44 :84; aid == 610 
Proportionen. In einer solchen sind die Glieder eines jeden einzelnen Verhält- 
nisses entweder gleichbenannt, oder beide unbenannt; die Glieder des einen 
Verháltnisses brauchen nicht mit denen des anderen gleichbenannt zu sein. 
In jeder Proportion 2:2 —c:4 heissen e und d die äusseren, ? und c die 
inneren Glieder.