Arithmetik und Algebra. 
9. Ist a:b=c:d, und multiplicirt man beide Seiten der Gleichung mit 4d dem 
(schafft also die Divisoren aus derselben), so erhält man halt 
a: d=0:C, 
> > ve . : . ] 
Hierbei sind unter a, à, c, d, oder doch unter den Gliedern eines einzelnen 
der beiden Verhältnisse, falls dieselben benannt waren, die betreffenden unbe- N 
nannten Maasszahlen zu verstehen. Aus 3 Kgr 
137; 82 == 107 + 2 8:6: 
folgt also beispielsweise 15.2 —3- 10 oder 15 - 2 = 3# - 10 oder 27.15 = hat ke 
107 - 3. 
Unter der somit gemachten Voraussetzung, welche auch fiir entsprechende Prop 
Fille im Folgenden ein- fiir allemal festgesetzt sein soll, gilt also der Satz: wird 
Das Produkt der äusseren Glieder einer jeden Proportion ist Glie. 
gleich dem Produkt der inneren. Seir 
Die Gleichung 2:^—c:4 oder die aus ihr abgeleitete a4 — ^c kann als male 
Bestimmungsgleichung für jedes der vier Glieder als Unbekannte dienen. Durch porti 
Auflósen derselben ergiebt sich: Jedes innere Glied ist gleich dem Produkt der und 
beiden äusseren, dividirt durch das andere innere, und jedes äussere Glied ist 
gleich dem Produkt der beiden inneren, dividirt durch das andere äussere. 
Dieser Satz findet Anwendung zur Auflösung der meisten Aufgaben des 
bürgerlichen Rechnens (Zweisatz- oder Regel de Tri-Rechnung, Zinsrechnung u. s. W.) 
So verhalten sich z. B. die Preise gleichartiger Waaren-Mengen wie deren Gewichte 
oder wie deren Volumina, die Zinsen eines Kapitals bei demselben Procentsatz {om 
wie die Anzahl der Jahre, u. dgl. m. eon 
Aus dem angeführten Satze folgt ferner: Stimmen zwei Proportionen in eu 
je drei gleichstelligen Gliedern mit einander überein, so sind auch 
ihre vierten Glieder einander gleich, oder ist Prop 
a:b=c:x, und a:6 —c:y, so ist auch x — y. das 
3. Aus jeder Gleichung zwischen zwei Produkten lässt sich umgekehrt eine geon 
richtige Proportion bilden, indem man die Faktoren des einen Produkts zu inneren, Mitte 
die des anderen zu äusseren Gliedern macht, denn ist ad = 6c, so folgt durch 
Division beider Seiten mit 6@, dass auch 2 = = oder a: # zc: d ist. 
Eine Proportion ist also richtig, wenn das Produkt der äusseren Glieder der- ih 
selben gleich dem Produkt der inneren ist. und 
Daher kann man aus jeder Proportion andere richtige Proportionen durch Wäh 
Umstellung ihrer Glieder ableiten, wenn man dabei nur dafür sorgt, dass die Verg 
äusseren Glieder beide äussere bleiben oder beide innere werden. Bildet man oder 
nach dieser Regel alle möglichen Umstellungen der Glieder, so erhält man statt neri 
einer gegebenen Proportion im Ganzen acht Proportionen, nämlich Wan 
1) 4:590: 5y6sacs dit fico 
2) a:c= 0: d GC) h:d—aic A 
9) dib==cia D citmd:h ONE 
4) diccmb:a 8) c:d=a:b. ment 
Von diesen acht Proportionen entsteht die 8te aus der lten, die 6te aus der ande 
2ten, die 7te aus der 3ten und die 5te aus der 4ten durch blosse Vertauschung 
der beiden Seiten der Gleichung. Von den übrig bleibenden entsteht die vierte untei 
aus der ersten und die dritte aus der zweiten durch Vertauschung der Seiten und man 
gleichzeitige Umkehrung beider Verháltnisse. Von besonderer Bedeutung unter Im! 
den Umstellungen der ersten Proportion ist daher nur die zweite, welche sich in und