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Anh. 3. Proportionen. 107 
dem Satze aussprechen lässt: Die Vorderglieder einer Proportion ver- 
halten sich zu einander, wie die entsprechenden Hinterglieder. 
Es mag auch hier darauf aufmerksam gemacht werden, dass dieser Satz nicht ohne Weiteres 
auf Proportionen zwischen benannten Zahlen angewendet werden kann, sondern dass dabei die 
etwaige Verschiedenheit der Benennungen zu berücksichtigen ist. So kann’ beispielsweise aus 
3 Kgr. : 7 Kgr. = 6 M. : 14 M. nicht gefolgert werden, 3 Kgr. : 6 M. — 7 Kgr. : 14 M., sondern nur 
3:6=— 7:14, oder etwa 3 Kgr. : 6 Kgr. — 7 M. : 14 M,, denn ein Verhiltniss, wie 3 Kgr. : 6 M. 
hat keinen Sinn, da unmôglich gefragt werden kann, wie oft 6 Mark in 3 Kilogramm enthalten seien. 
Die vorstehend erörterte Möglichkeit der Umstellung der Glieder einer 
Proportion gestattet immer, wenn ein unbekanntes Glied einer Proportion gesucht 
wird, die letztere so zu schreiben, dass die gesuchte Unbekannte das vierte 
Glied ist. Aus der — übrigens nicht nothwendigen — Annahme einer solchen 
gleichmässigen Schreibweise ist die Bezeichnung «vierte geometrische Proportio- 
nale zu drei gegebenen Zahlen» hervorgegangen. Die vierte geometrische Pro- 
portionale zu @, à und c ist also die Grosse x in der Proportion 4:5 — c: x, 
und es ist nach dem Vorigen 
be ; has ; ; 
Umgekehrt, ist x == 780 ist x die vierte geometrische Proportionale zu aq, 
b und c. Sind dabei 6 und c einander gleich, so nennt man auch x die dritte 
geometrische Proportionale zu @ und 4. Unter derselben versteht man also die 
Grosse x in der Proportion ¢: 46 — 5: x. 
4. Sind die beiden inneren, oder sind die beiden äusseren Glieder einer 
Proportion einander gleich, so heisst die letztere eine stetige Proportion, und 
das gleiche Glied heisst die mittlere geometrische Proportionale oder kürzer das 
geometrische Mittel zwischen den beiden anderen. Ist also x das geometrische 
Mittel zwischen @ und à, so ist 
a:x—x:b oder 32— a. 0 oder x — a. 
Die Bezeichnungen «geometrische» Proportion, geometrisches Mittel u. s. w. 
rühren von der früher üblichen Unterscheidung zweier Arten von Verhältnissen 
und Proportionen her, welche: man arithmetische und geometrische nannte. 
Während man bei den im Vorigen behandelten geometrischen Verhältnissen zur 
Vergleichung zweier Zahlen fragt, wie oft die eine in der anderen enthalten, 
oder wie vielemal die letztere grösser als jene sei, fragt man bei einem arith- 
metischen Verhältniss, um wie viel die eine Zahl grösser als die andere sel. 
Während also eine geometrische Proportion eine Gleichung zwischen zwei Quo- 
tienten ist, hat man unter einer arithmetischen Proportion eine Gleichung zwischen 
zwel Differenzen zu verstehen, wie z. B. «— ^ —c— 4. Ist eine solche stetig, 
ist also z. B. 7 — x — x — d, so heisst das gleiche Glied x die mittlere arith- 
metische Proportionale, oder kürzer das arithmetische Mittel zwischen den beiden 
: a + d ; 
anderen. Es ist dann 2 x =a + 4, oder x = = Allgemeiner versteht man 
unter dem arithmetischen Mittel beliebig vieler Zahlen diejenige Zahl, welche 
man erhält, wenn man die Summe der ersteren durch ihre. Anzahl dividirt. — 
Im Folgenden wird, wie vorher, von den arithmetischen Proportionen abgesehen 
und unter einer Proportion schlechthin stets eine geometrische verstanden.