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Arithmetik und Algebra.
§ 56. Abgeleitete und zusammengesetzte Proportionen.
1. Aus einer gegebenen Proportion lassen sich andere Proportionen ableiten,
indem man mit beiden Seiten gleiche Veränderungen vornimmt. So folgt aus
aibzrt:d,
a c quo «cdd
5 +1=-; =L oder a oder
(a + 8):5 = (c4- d) : d und (a — 2) :b 5 (e — 4):4.
Verfährt man ebenso mit 5:a = d:c, so erhält man
(a+ ):a=(c+d):c und (a —2):a —(c— 2):«.
Daher ist auch (a --8):(c-a- d) aie 51d,
(a— 65) :(e—d)=a:c=0b:d mithin auch
(a + 5) : (ec + d) = (a — 5) : (€ — d) und
(a + 5) : (a — 5) = (c + d): (e— dd).
Leitet man aus der gegebenen Proportion zunächst die andere
ares bia
ab, so erhält man aus dieser in entsprechender Weise
@E0):0=C0):06, u. 5. W.
9. Werden mehr als zwei Verhältnisse einander gleich gesetzt, so erhält
man eine sogenannte fortlaufende Proportion, wie z. B.
dCi
welche sich auch in der Form
ai bicid: o.=md BC DY.
schreiben lässt. Hier verhalten sich jede zwei beliebige Glieder der einen
Seite zu einander, wie die gleichstelligen Glieder der andern Seite.
Gilt die fortlaufende Proportion
214—5:B-uCedUD-..
so ist auch
(ga À 38 À cy E &. .) : (Aa E BB -- Cqzk D6...)a:4d = b: B, u s W,
wobei a, B, 7, à, .. beliebige Coefficienten sind, und in beiden Gliedern des
Verhältnisses an gleichen Stellen dasselbe Zeichen zu nehmen ist. Bezeichnet
: ; : b ;
nämlich 7 den Werth der sámmtlichen Quotienten = 75 Ws Ww, ist also a = Ag,
bz Hg u s w. so ist
avid ter 8 Aq a == Bg ck Cg 3 Dg
da: B6 cp UG EG
Insbesondere ist daher auch
(e:bcedd.rQduA--6 -se:4,u s w.
3. Sind ferner zwei oder mehrere Proportionen
an Ci U, 255--C:D
gegeben, so lässt sich aus ihnen eine neue Proportion durch Multiplication, und
ebenso auch durch Division der gleichstelligen Glieder ableiten. Denn da Gleiches
mit Gleichem multiplicirt, und ebenso Gleiches durch Gleiches dividirt, wieder
Gleiches giebt, so folgt aus
a ES
=I EEE?
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0d: bB = cC: dD und X :
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