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9. Die Elemente der Combinationslehre. 
III. Abschnitt. 
Elemente der Combinatorik, der Theorie der Reihen, u. $^ w, 
Kapitel 9. 
Die Elemente der Combinationslehre. 
Hers § 88—90, BanpEev XXXV. 
8 98. Grundbegriffe. 
Die Combinationslehre hat zum Gegenstand die Gesetze der Zusammen- 
stellungen gegebener Dinge in bestimmten Ordnungsweisen. Fragt man z. B. 
auf wieviele verschiedene Arten (Reihenfolgen) zehn Personen an einem Tische 
sitzen kónnen, so hat man eine Aufgabe der Combinationslehre. Die zusammen- 
zustellenden Dinge nennt man Elemente und bezeichnet dieselben gewöhnlich 
durch Buchstaben oder ‘Ziffern. Der Werth oder die Bedeutung derselben bleibt 
dabei unberücksichtigt, und nur die verschiedene Stellung oder Auswahl kommt 
in Betracht. Jede einzelne Zusammenstellung der Elemente heisst eine Com- 
plexion. 
Man unterscheidet verschiedene Arten solcher Zusammenstellungsweisen, 
welche wir zunächst durch ein Beispiel erläutern wollen: Eine Gesellschaft be- 
stehe aus zwölf Mitgliedern, die Namen derselben sollen in.einer Liste verzeichnet 
werden. Dies kann in sehr vielen verschiedenen Reihenfolgen geschehen, und 
jede derartige Zusammenstellung aller zwölf Namen heisst eine Permutation der- 
selben. Sollen dagegen die zwölf Mitglieder aus ihrer Mitte drei Personen als 
Deputirte wählen, werden also auf verschiedene Weisen drei Namen ausgewählt 
und zusammengestellt, so heisst jede solche Zusammenstellung. eine Combination 
der zwölf Elemente, und zwar eine solche zur dritten Klasse. Sollen endlich 
dabei die drei Personen verschiedene Funktionen übernehmen, wie beispielsweise 
wenn bei einer Vorstandswahl die zuerst benannte Person die Stelle des Vor- 
sitzenden, die zweite die Stelle des Schriftführers und die dritte die Stelle des 
Cassirers bekleiden soll, kommt also nicht bloss die Auswahl der drei Elemente, 
sondern auch ihre Aufeinanderfolge in Betracht, so heissen die gebildeten Com- 
plexionen Variationen der zwólf Elemente zur dritten Klasse. 
In jedem derartigen Falle entsteht die Aufgabe, ein Verfahren anzugeben, 
nach welchem man alle verlangten Complexionen in einer geordneten Reihen- 
folge aufstellen kann, ohne dass eine Gefahr des Auslassens oder der Wieder- 
holung einzelner stattfinde. Da ferner häufig nicht jede einzelne Complexion 
selbst, sondern nur die Anzahl derselben verlangt wird, so sind Formeln. abzu- 
leiten, welche die Berechnung dieser Anzahl ermöglichen, ohne dass die Aut- 
stellung und Abzählung der einzelnen Complexionen selbst nöthig ist. 
Zu diesem Zwecke empfiehlt es sich, eine bestimmte Reihenfolge der Ele- 
mente als die ursprüngliche, gegebene anzunehmen und für dieselbe bei der 
Bezeichnung durch Zahlen oder Buchstaben die natürliche, bezw. die alphabetische 
Reihenfolge derselben zu wählen. Hierbei nennt man jedes Element, welches 
in dieser ursprünglichen Reihenfolge später steht als ein anderes, in Beziehung 
auf dieses das höhere. 
$ 59. Vom Permutiren. 
1. Permutationen gegebener Elemente sind Zusammenstellungen, welche 
sämmtliche Elemente in verschiedenen Reihenfolgen enthalten. Die Permutationen