112 Arithmetik und Algebra. 
von a, 6 z. B. sind ab und ba, die Permutationen von 1, 2, 3 sind 123, 132, 213, 
231, 312, 321. 
Um die Permutationen gegebener Elemente in geordneter Reihenfolge zu 
bilden, lasse man jedes der » Elemente nach einander einmal die erste Stelle 
einnehmen, gehe jedoch niemals zum folgenden Element bei der Besetzung dieser 
ersten Stelle über, ehe alle auf dieselbe noch folgenden Elemente auf jede móg- 
liche Weise versetzt worden sind. Man erhált also 7 Gruppen von Permutationen, 
die Permutationen der ersten Gruppe fangen simmtlich mit dem ersten, die der 
zweiten Gruppe sámmtlich mit dem zweiten Elemente an, u. s. w. Innerhalb 
jeder Gruppe besetze man nun wieder die zweite Stelle nach und nach mit jedem 
der z — 1 übrigen Elemente in ihrer natürlichen Reihenfolge, lasse in jeder dieser 
4 — 1 Untergruppen jedesmal an dritter Stelle jedes der 7 — 2 noch übrigen 
Elemente der Reihe nach folgen, und fahre so fort bis zur letzten Stelle. 
So sind also z. B. die Permutationen von abcd in dieser Ordnung 
abcd bacd cabd dabc 
abdc badc cadb dacó 
2233 "Aoa4 ^ (Bad, dlue 
acdb bcda chda dhet 
Ur. 3d. cda | dca) 
adcó dca cdba dcba 
  
  
Die erste Permutation enthült also die Elemente. in ihrer natürlichen Rethen- 
folge; jede folgende wird aus der vorhergehenden erhalten, indem man in dieser 
das erste Element, von rechts nach links gerechnet, welches niedriger ist, als 
ein folgendes durch das nächst höhere der auf dasselbe rechts folgenden ersetzt, 
dann die noch übrigen rechts stehenden Elemente nach ihrer natürlichen Reihen- 
folge ordnet, während die links stehenden unverändert bleiben. 
Um beispielsweise die auf 1432765 folgende Permutation zu erhalten, hat man 
die 2 durch die 5 zu ersetzen und dann die Elemente 2, 7, 6 in ihrer natürlichen 
Reihenfolge anzuschliessen, während die vorhergehenden 143 ihre Stellungen 
behalten. Die gesuchte Permutation ist also 1435267. 
9. Das obige Bildungsgesetz .zeigt zugleich, dass die Anzahl der Permu- 
tationen von z Elementen zmal so gross ist, als diejenige der Permutationen 
von 4— 1 Elementen, denn jedes der z Elemente kann die erste Stelle so 
oft einnehmen, als die jedesmal übrigen z — 1 Elemente nach ihm Permu- 
tationen unter sich gestatten. Da nun ein Element nur eine einzige Stellung 
haben kann, so erhält man für 2 Elemente 1-2, für drei Elemente 1-2-3, und 
so fort, fiir » Elemente 
Pn=1-2:3-4...n—1) nm 
Permutationen. Man schreibt diesen Ausdruck 1-2 -3.. 7 auch kürzer 7| und 
liest denselben »z Fakultüt« oder »Faktonelle z«. 
Wenn also beispielsweise zehn Personen an einem Mittagstische mit dem Wirthe verabreden, 
demselben die Bezahlung schuldig zu bleiben, bis sie auf jede mógliche Art einmal die zehn 
Plätze besetzt haben, so muss der Wirth 1 - 2 - 24-5.6-1-8-9-10- 3628800 Tage oder 
über 9935 Jahre creditiren. Um ferner die dreizehn Karten einer Farbe eines Kartenspiels auf 
alle môglichen Arten neben einander zu legen, hat man 6227020800 Versetzungen zu machen, 
wozu man, wenn in jeder Minute zehn verschiedene Permutationen gebildet würden, bei einer 
täglichen Arbeitszeit von zwölf Stunden, mehr als 2367 Jahre nöthig haben würde. 
Die Anzahl der Permutationen wächst mit der Anzahl der Elemente in sehr 
      
  
  
  
   
  
   
    
  
  
   
  
  
  
   
   
   
  
   
  
   
    
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
bes 
ist 
gest 
Bed 
mar 
geb 
jede 
sich 
unte 
unte 
der 
glei 
Art 
schi 
Art 
mel 
SO | 
für 
Der 
eine 
hat, 
hier 
dies 
per 
ebe 
120 
tati 
mit 
beg 
die 
beh 
je |