116 Arithmetik und Algebra. 
die Vertauschung von 7 und s selbst noch eine, im Ganzen also « 4- 28 -- 1-- 1 
Inversionen mehr, und die Gesammtzahl der vorhandenen Inversionen ändert 
sich also um 
a4-98--1-2-1—(«4-1)-— 28 -- L 
also stets um eine ungerade Zahl. Für diese letztere ist es selbstverstándlich 
gleichgültig, welche der beiden Complexionen als die ursprüngliche angenommen 
wird, und es gilt also der Satz: 
Vertauscht man in einer Complexion zwei Elemente mit einander, so àndert 
sich die Anzahl der Inversionen um eine ungerade Zahl. 
Bildet man also die Permutationen gegebener Ele:nente auf die zweite oben 
angegebene Weise, so ist die Anzahl der Inversionen in denselben abwechselnd 
gerad und ungerad. 
Allgemeiner ergiebt sich hieraus: Zwei Permutationsformen, welche sich 
aus einander durch eine gerade .Anzahl von Vertauschungen je zweier Ele- 
mente ableiten lassen, haben entweder beide eine gerade oder beide eine ungerade 
Anzahl von Inversionen; von zwei Permutationsformen dagegen, welche sich aus 
einander durch eine ungerade Anzahl von Vertauschungen je zweier Elemente 
ableiten lassen, hat stets die eine eine gerade, die andere eine ungerade Anzahl 
von Inversionen. 
Man theilt die Permutationen gegebener Elemente in zwei Klassen und rechnet 
in die erste derselben alle diejenigen Permutationen, welche eine gerade, in die 
zweite alle diejenigen, welche eine ungerade Anzahl von Inversionen haben. 
Demnach gehóren zwei Permutationen derselben Elemente derselben oder 
verschiedenen Klassen an, je nachdem sie sich aus einander durch eine gerade 
oder durch eine ungerade Anzahl von Vertauschungen je zweier Elemente ableiten 
lassen. Die in der zweiten der oben angegebenen Weisen geordneten Permuta- 
tionen gehóren abwechselnd verschiedenen Klassen an. Beide Klassen haben 
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jedesmal gleichviele Permutationen, nämlich 3-4-5...%= 7 (nl). 
8 60. Vom Combiniren und Variiren. 
1. Wird von z gegebenen Elementen eine bestimmte Anzahl auf alle móg- 
liche Arten herausgenommen und zusammengestellt, so jedoch, dass nur die ver- 
schiedene Auswahl der Elemente und nicht ihre Stellung gegen einander in Be- 
tracht kommt, so heissen die entstehenden Complexionen Combinationen 
jener z Elemente, und zwar Combinationen zur pten Klasse, wenn p die An- 
zahl der jedesmal ausgewählten Elemente ist. 
Complexionen, welche dieselben ausgewählten 4 Elemente, jedoch in ver- 
schiedenen Reihenfolgen enthalten, gelten demnach nur als eine einzige Combi- 
nation. Da man hiernach bei Aufstellung der Combinationen jedesmal die Wahl 
zwischen den verschiedenen möglichen Reihenfolgen hat, so pflegt man diejenige 
zu nehmen, welche die betreffenden Elemente in ihrer natürlichen (alphabetischen, 
u. s. W.) Ordnung enthält. 
Wird dagegen nicht nur eine bestimmte Anzahl von Elementen ausgewählt, 
sondern auch jede verschiedene Anordnung derselben ausgewählten Elemente 
als eine neue Complexion betrachtet, so erhält man — bei % ausgewählten Ele- 
menten — die Variationen der gegebenen n Elemente zur pten Klasse. 
Man unterscheidet ferner Combinationen und Variationen mit und ohne 
Wiederholungen, je nachdem es gestattet oder verboten ist, ein und dasselbe 
Element in derselben Complexion wiederholt zu setzen. 
      
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
   
  
   
   
   
   
  
   
    
   
   
   
   
   
  
  
  
  
    
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