Arithmetik und Algebra, 
3. Die Anzahl der Complexionen in den angeführten Fällen ergiebt sich 
wie folgt: 
Da bei den Variationen mit Wiederholungen jedes der z Elemente an erster 
Stelle, in jedem dieser x Fälle wieder jedes der z Elemente an zweiter Stelle 
stehen kann, u. s. w., so ist hier die gesuchte Anzahl für die pte Klasse gleich 
nh. 
Bei Variationen ohne Wiederholungen kann auf das erste Element in jedem 
einzelnen Falle nur jedes der z — 1 übrigen an zweiter Stelle, dann entsprechend 
jedes der 2 — 9 übrigen an dritter Stelle, folgen, u s. w. Daher ist die An- 
zahl derselben für die pte Klasse gleich 
2(9—1)(n—2)...(n—p4- 1) 
Bezeichnet C?" die Anzahl der Combinationen von z Elementen der ften 
Klasse ohne Wiederholungen, so erhält man, da jede dieser Combinationen A! 
verschiedene Permutationen zulässt, die Anzahl der entsprechenden Variationen, 
indem man C#“ mit p! multiplicirt. Daher ist umgekehrt unter Benutzung der 
vorstehenden Formel für die Variationen 
n (n — 1) (n — 2) ...(n—Pp + 1) 2 
1- 3. Sr UT i ( b ) 
Für die Combinationen mit Wiederholungen lässt sich das soeben benutzte 
  
Cp Hz 
Verfahren nicht anwenden, da die Anzahl der Permutationen für jede derselben, 
nicht die gleiche ist, sondern beispielsweise für aaa nur gleich 1, für aao gleich 
3, für abc gleich 6. Man denke sich für diesen Fall die sämmtlichen Combinationen 
der Elemente 1, 2, 3, ..., deren Anzahl gesucht wird, der Reihe nach hinge- 
schrieben, erhöhe sodann in jeder derselben das an zweiter Stelle stehende Ele- 
ment um 1, das an dritter Stelle stehende um 2, u. s. f bis zu dem an pter 
Stelle stehenden, welches um # — 1 erhöht wird. Man erhält so die gleiche 
Anzahl neuer Complexionen, und zwar von z --? — 1 Elementen. Da nun jedes 
folgende Element in jeder einzelnen Combination um mehr als das vorher- 
gehende erhóht wurde, so kann in den neuen Complexionen niemals ein niedrigeres 
Element auf ein hóheres und es kann auch niemals dasselbe Element wieder- 
holt vorkommen, denn anderenfalls müsste die entsprechende ursprüngliche Com- 
plexion keine natürlich geordnete Combination gewesen sein. Die neuen Com- 
plexionen sind also Combinationen der z 4- ? — 1 Elemente ohne Wiederholungen. 
Endlich müssen die letzteren vollständig vorhanden sein, denn fehlte eine der- 
selben, so denke man sich in dieser fehlenden Complexion wieder die an zweiter 
dritter, u. s. w. bis fter Stelle stehenden Elemente um bezüglich 1, 2,... bis 
f — 1 erniedrigt; offenbar muss hierdurch umgekehrt eine der Combinationen 
der gegebenen % Elemente ohne Wiederholungen entstehen, und es müsste dem- 
nach diese letztere auch ursprünglich gefehlt haben. Somit ergiebt sich der Satz: 
Die Anzahl der Combinationen von z Elementen zur öten Klasse mit Wieder- 
holungen ist gleich der Anzahl der Combinationen von z + 5 — 1 Elementen 
zur pten Klasse ohne Wiederholungen. 
Bestimmt man die letztere nach der obigen Formel, so erhält man also 
auch für die erstere 
(7 + p — 1) (n Hp — 2) ....(n +p —1—#p+ 1) 
1: 2 re f 
n(n +1) (n+2)....(n+p—1) 
1:373... 7 
  
; Oder 
  
    
   
  
  
   
  
  
   
   
  
  
  
  
  
   
   
  
   
  
    
   
    
   
   
   
   
  
  
   
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
    
   
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