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9. Die Flemente der Combinationslehre. 119 
Fragt man beispielsweise, auf wie viele Arten 52 Karten sich so unter vier 
Spieler vertheilen lassen, dass jeder dreizehn Karten erhält, so hat man zunächst 
die Anzahl der Combinationen von 52 Elementen zur 13ten Klasse ohne Wieder- 
holungen zu bestimmen. Dieselbe ergiebt sich gleich 635013559600. Erhält 
der erste Spieler eine dieser Combinationen, so kann der zweite jedesmal noch 
jede der Combinationen der übrigen 39 Karten zur 13ten Klasse ohne Wieder- 
holungen erhalten, deren Anzahl 8122425444 beträgt. Ferner kann in jedem 
der hierbei möglichen Fälle der dritte Spieler jede der Combinationen der 26 
übrigen Elemente zur 13ten Klasse ohne Wiederholungen, deren Anzahl 10 400600 
beträgt, erhalten. Der vierte Spieler erhält dann ın jedem der möglichen Fälle 
die noch übrigen 13 Karten. Die Gesammtzahl aller möglichen Vertheilungs- 
weisen ist also gleich dem Produkt der vorstehend ermittelten drei Anzahlen, 
oder gleich 53644737765488792839237440000. 
Bei dem MomsEschen elektrschen Telegraphen wird das ganze Alphabet 
durch Zusammenstellung von Stnrchen und Punkten gebildet. Fragt man nun, 
wieviele verschiedene Zeichen sich durch die Zusammenstellungen von hóchstens 
vier Strichen. und Punkten zu je einem Zeichen bilden lassen, so hat man die 
Anzahlen der Variaüonen von zwei Elementen mit Wiederholungen zur ersten, 
zweiten, dritten und vierten Klasse zu addiren. Die gesuchte Zahl ist also gleich 
91 -- 92 + 95 + 94 — 30. 
Es kann ferner bei den Combinationen und Variationen gegebener Elemente 
festgesetzt werden, dass die einzelnen Elemente nicht unbeschränkt wiederhol- 
bar sind, sondern dass für jedes derselben nur eine bestimmte Anzahl, z. B. 
für das erste a, für das zweite 8, u. s. w. Wiederholungen gestattet sein sollen. 
Es kann ferner vorgeschrieben werden, dass die zu bildenden Complexionen der - 
durch Zahlen dargestellten Elemente eine bestimmte Summe dieser Zahlen 
geben, oder dass die einzelnen Elemente mit gleichen Differenzen der aufeinander 
folgenden fortschreiten sollen, u. dgl. m. In derartigen Fällen wird man leicht 
nach Analogie der im Vorhergehenden entwickelten Methoden die einzelnen 
Complexionen in gesetzmüssiger Weise entwickeln; die Ableitung allgemeiner 
Regeln und Formeln für derartige Fülle erscheint hier als zu weitführend und 
entbehrlich. 
Einige Anwendungen der Combinationslehre sollen in den nächsten Para- 
graphen erórtert werden. 
8 61. Die Anfangsgründe der Wahrscheinlichkeits-Rechnung. 
Hers § 91. Barry XXXVI. 
1l. Unter mathematischer Wahrscheinlichkeit (Probabilität) eines Er- 
eignisses versteht man das Verhältniss der Anzahl aller diesem Ereigniss günstigen 
zur Anzahl aller überhaupt möglichen Fälle. 
So ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel einen bestimmten Wurf zu werfen, 
gleich 4, denn unter den 6 überhaupt móglichen Würfen ist ein einziger dem Eintreffen des 
verlangten Ereignisses günstig. Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 52 Karten ein 
Ass zu ziehen, ist Ay = 414, da unter 52 möglichen Fällen 4 günstige sind. 
Diese Erklärung des Begriffs Wahrscheinlichkeit entspricht vollständig dem 
Sprachgebrauch; sie giebt aber denselben schärfer mittelst genau bestimmter 
Zahlenwerthe. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird hiernach durch 
einen Bruch angegeben, und zwar im Allgemeinen durch einen echten Bruch. 
Ist kein Fall dem Ereigniss günstig, das letztere also unmöglich, so erhält man