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9. Die Elemente der Combinationslehre. 123 
Man kann auch nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass entweder das 
Ereigniss 4 eintreffe, oder, falls dies nicht geschehe, dann doch das Ereigniss 2, 
indem man annimmt, dass im Falle des Eintreffens von À das Ereigniss 5 über- 
haupt nicht mehr in Frage komme. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann 
w, +(1— w,)w,, also gleich derjenigen, dass wenigstens eins der beiden Ereig- 
nisse eintrete. 
9. Unter den relativen Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse versteht man 
die Wahrscheinlichkeiten, welche man erhält, wenn nur diejenigen Fille beriick- 
sichtigt werden, die einem der Ereignisse günstig sind, wenn also diejenigen, 
welche keinem derselben günstig sind, als nicht vorhanden betrachtet werden. 
Sind unter z überhaupt móglichen Füllen « dem ersten und 4 davon ver- 
schiedene dem zweiten Ereigniss günstig, so sind die relativen Wahrscheinlich- 
a b ; Ji 
adj und — —, oder wenn ze,, zv, die absoluten Wahrscheinlich- 
keiten gleich T au 
keiten +. 2 der betreffenden Ereignisse sind, gleich 
i unc e 
wy + Wy W, + Ww, 
So ist z. B. die W., aus einer Urne mit 7 weissen, 5 rothen, 9 schwarzen Kugeln eher 
eine weisse als eine schwarze Kugel zu ziehen, gleich Jf. = + : (4p + SX). 
6. Ein besonderes Interesse bietet noch die Beantwortung der Frage nach 
der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereigniss bei zmaliger Wfederholung des 
Versuches amal eintreffe und z — amal nicht eintreffe, wenn die Wahrschein- 
lichkeit æ fiir das Eintreffen bei jedem einzelnen Versuche dieselbe ist. Die 
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereigniss «mal hinter einander oder sonst in einer 
bestimmten Reihenfolge eintreffe, ist z^, und ebenso die für das z — amalige 
Nicht-Eintreffen (1 — zv)" —^, mithin die für beide Forderungen zugleich bei be- 
stimmter Reihenfolge gleich we - (1 — z/)" —^. Ist dagegen die Reihenfolge nicht 
bestimmt, so hat man diese Wahrscheinlichkeit so oft zu nehmen, als verschiedene 
Reihenfolgen móglich sind, also so oft als die Anzahl der Permutationen von 
a+ b Elementen beträgt, von denen a der einen Art und 2 der anderen Art 
einander gleich sind. Man erhält also in diesem Falle 
(5 we (1 — ze)" — e. 
In dhnlicher Weise kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass von 
drei oder mehr Ereignissen bei einer Reihe von Versuchen jedes einzelne eine 
bestimmte Anzahl mal eintreffe, sowie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereigniss 
unter z Versuchen wenigstens amal eintreffe. Im letzteren Falle sind die Wahr- 
scheinlichkeiten für das ein-, zwei. u. s. w. bis a-malige Eintreffen zu addiren. 
Die wiederholten Versuche führen zur Erkenntniss der eigentlichen Be- 
deutung und des praktischen Werthes der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ist 
beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich 1, so sagt dies, 
dass man durchschnittlich für jede sechs Wiederholungen ein einmaliges Ein- 
treffen, und also ein fünfmaliges Nichteintreffen des Ereignisses erwarten 
dürfe. Damit ist keineswegs behauptet, dass dieses Eintreffen jedesmal bei 
sechs wiederholten Versuchen genau einmal stattfinden müsse, vielmehr 
kann dies öfter, oder auch erst bei einer grösseren Anzahl von Versuchen der 
Fall sein, und jede solche Möglichkeit hat nach dem Vorstehenden ihre eigene 
Wahrscheinlichkeit. So ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit, unter sechs Würfen