124 Arithmetik und Algebra. 
mit einem Würfel gerade einmal die 1 zu werfen, durchaus nicht gleich der 
Gewissheit, sondern gleich (3)5 = 0,4018 .. Macht man aber nicht bloss sechs, 
sondern eine erheblich grössere Anzahl von Versuchen, vielleicht 600 oder 6000, 
so steht zu erwarten, und die Erfahrung bestätigt dies, dass diejenigen Versuchs- 
reihen, bei welchen das Ereigniss öfter eintrat, als nach seiner Wahrscheinlich- 
keit anzunehmen war, sich mit denjenigen, in welchen es seltener eintrat, mehr 
oder minder ausgleichen werden, und dass man also durchschnittlich der aus 
der Wahrscheinlichkeit sich ergebenden Anzahl von Fällen des Eintreffens bei 
einer sehr grossen Anzahl von Versuchen entsprechend nahe kommen werde. 
Hiermit ist keineswegs gesagt, dass z. B. die Wahrscheinlichkeit, unter 60 
Würfen mit einem Würfel genau zehnmal eine bestimmte Nummer zu werfen, 
grösser sei, als die Wahrscheinlichkeit, diese Nummer unter 6 Würfen genau ein- 
mal zu werfen; im Gegentheil ist die letztere gleich 0,401 . ., während die erstere 
nur gleich 0,137 .. ist. Dies erklärt sich leicht dadurch, dass im letzteren Falle 
nach der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen von 6 móglichen, im ersteren da- 
gegen nur nach der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen von 60 möglichen Fällen 
gefragt wird. Jenem einen Fall unter 6 Würfen müsste man also bei 60 Würfen, 
um das gleiche Verhältniss zu erhalten, nicht einen einzelnen, sondern zehn 
Fälle gegenüberstellen, und es lässt sich zeigen, dass, wenn diese zehn Fälle dem 
erwarteten möglichst nahe liegen, die Wahrscheinlichkeit, irgend einen derselben 
zu werfen, erheblich grösser ist, als die Wahrscheinlichkeit für den einen Fall 
unter nur 6 Würfen. Allgemein gilt zunächst der Lehrsatz, dass bei einer 
grossen Anzahl wiederholter Versuche diejenige Anzahl von Wiederholungen eines 
Ereignisses die grösste Wahrscheinlichkeit hat, deren Verhältniss zu der Gesammt- 
zahl der Versuche gleich der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist. Ist näm- 
lich zv die einfache Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, und also, wie oben gezeigt, 
W- (")w«-a —w)-* 
die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereigniss unter z Versuchen «mal eintreffe, 
so erhält man nach demselben Gesetze die Wahrscheinlichkeit für ein a — l- 
  
  
: : 1— ; ; 
maliges Eintreffen, wenn man W mit pm rm , und die Wahrschein- 
: UE rs . ; co 0 w iii 
lichkeit für ein @ + 1 maliges Eintreffen, wenn man W mit UT TT multipli- 
cirt. Soll nun J7/ ein Maximum sein, so müssen beide so aus J7/ berechnete 
Werthe kleiner als J7, oder es muss 
  
a 1— w n—a w 
ati = =! und gud cm Sl 
sein. Hieraus folgt 
a & --1 
W > e und zw < 23 
Je grössere Zahlen nun z und « sind, desto geringfügiger wird der Fehler, 
welchen man durch Weglassen von 4-1 neben denselben begeht; in diesem 
Falle aber reduciren sich beide Ausdrücke auf 
a 
w = D 
was der obigen Behauptung entspricht. 
Die Wahrscheinlichkeit, unter 60 Würfen mit einem Würfel, oder was auf dasselbe hinaus- 
kommt, in einem Wurf mit 60 Würfeln gerade zehnmal eine bestimmte Nummer zu werfen, ist 
        
     
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
  
  
   
   
   
  
   
   
    
  
    
   
   
   
    
    
    
    
  
   
   
    
   
   
   
   
  
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